Задача Плато

Зада́ча Плато́ — вопрос о существовании минимальной поверхности с заданной границей: доказать существование поверхности наименьшей площади с границей, образованной заданной жордановой кривой в пространстве.

Поверхность мыльной плёнки на двух кольцах в форме катеноида

Впервые сформулирована Жозефом Лагранжем в 1760 году; названа в честь Жозефа Плато, проводившим опыты с мыльными плёнками.

Решена независимо друг от друга в 1930 году Джесси Дугласом и Тибором Радо (венг. Radó Tibor) с определёнными топологическими ограничениями. Дуглас за решение получил Филдсовскую премию 1936 года.

В 1960 году Герберт Федерер и Вендел Флеминг решили задачу для общего случая, используя разработанную ими теорию потоков.

Литература

• Douglas, Jesse. Solution of the problem of Plateau (англ.) // Trans. Amer. Math. Soc.. — Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 33, No. 1, 1931. — Vol. 33, no. 1. — P. 263—321. — doi:10.2307/1989472. — .
• Reifenberg, Ernst Robert. Solution of the {Plateau} problem for m-dimensional surfaces of varying topological type (англ.) // Acta Mathematica : journal. — 1960. — Vol. 104, no. 2. — P. 1—92. — doi:10.1007/bf02547186.
• Fomenko, A. T. The Plateau Problem: Historical Survey (неопр.). — Williston, VT: Gordon & Breach, 1989. — ISBN 978-2-88124-700-2.
• White, Brian. «Existence of Least-Area Mappings of N-Dimensional Domains.» Annals of Mathematics, vol. 118, no. 1, 1983, pp. 179—185.
• Morgan, Frank. Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide (англ.). — Academic Press, 2009. — ISBN 978-0-12-374444-9.
• Radó, Tibor. On Plateau's problem (англ.) // Ann. Of Math. (2) : journal. — The Annals of Mathematics, Vol. 31, No. 3, 1930. — Vol. 31, no. 3. — P. 457—469. — doi:10.2307/1968237. — .
• Struwe, Michael. Plateau's Problem and the Calculus of Variations (англ.). — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1989. — ISBN 978-0-691-08510-4.
• Almgren, Frederick. Plateau's problem, an invitation to varifold geometry (англ.). — New York-Amsterdam: Benjamin, 1966. — ISBN 978-0-821-82747-5.
• Harrison, Jenny. Soap Film Solutions to Plateau's Problem (неопр.) // Journal of Geometric Analysis. — Springer Online First, 2012. — Т. 24. — С. 271—297. — doi:10.1007/s12220-012-9337-x.