Открыть главное меню

Изолированная точка множества

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

ОпределениеПравить

Пусть дано топологическое пространство  , и подмножество  . Точка   называется изолированной точкой множества  , если существует окрестность   такая, что  

Связанные определенияПравить

  • Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным.

СвойстваПравить

  • Произвольная функция  , где   — множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке  .

ПримерыПравить

Пусть   — множество вещественных чисел с стандартной топологией.

  • Если  , то точка   является изолированной, а все остальные нет.
  • Если   то   не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
  • Множество натуральных чисел   дискретно.
  • Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
  • Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).

См. такжеПравить