Открыть главное меню

Интерполяционная формула Брахмагупты — интерполяционная формула второго полиномиального порядка, найденная индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598—668) в начале VII века нашей эры. Поэтическое описание этой формулы на санскрите находится в дополнительной части «Кхандакхадьяки» — труда, завершённого Брахмагуптой в 665 году[1]. Такой же куплет имеется в более ранней его работе «Дхьяна-граха-адхикара», точная дата создания которой не установлена. Однако внутренняя взаимосвязь работ позволяет предположить, что она была создана ранее завершённого в 628 году основного труда учёного — «Брахма-спхута-сиддханта[en]», поэтому создание интерполяционной формулы второго порядка может быть отнесено к первой четверти VII века[1]. Брахмагупта был первым, кто нашёл и использовал формулу в конечных разностях второго порядка в истории математики[2][3].

Формула Брахмагупты совпадает с интерполяционной формулой второго порядка Ньютона, которая была найдена (переоткрыта) спустя более тысячи лет.

ЗадачаПравить

Будучи астрономом, Брахмагуптта был заинтересован в получении точных значений синуса на основе небольшого количества известных табулированных значений этой функции. Таким образом, перед ним стояла задача найти величину  ,   по имеющимся в таблице значениям функции:

             
             

При условии, что значения функции вычислены в точках с постоянным шагом  , (  для всех  ), Ариабхата предложил использовать для расчётов (табличные) первые конечные разности:

 

Математики до Брахмагупты использовали очевидную формулу линейной интерполяции

 ,

где  .

Брахмагупта заменил в этой формуле   дугой функцией конечных разностей, которая позволяет получать более точные по порядку значения интерполируемой функции.

Алгоритм вычислений БрахмагуптыПравить

В терминологии Брахмагупты разность   называется прошлый отрезок (गत काण्ड),   называется полезный отрезок (भोग्य काण्ड). Длина отрезка   до точки интерполирования в минутах называется обрубком (विकल). Новое выражение, которое должно заменить   называется правильным полезным отрезком (स्फुट भोग्य काण्ड). Вычисление правильного полезного отрезка описано в куплете[4][1]:

 

Согласно комментарию Бхуттопалы (X век) стихи переводятся так[1][5]: Умножь обрубок на полуразность полезного и прошлого отрезков и раздели результат на 900. Добавь результат к полусумме полезного и прошлого отрезков, если эта полусумма меньше полезного отрезка. Если больше, то вычти. Получишь правильную полезную разность[6].

900 минут (15 градусов) — это интервал   между аргументами табличных значений синуса, которыми пользовался Брахмагупта.

Формула Брахмагупты в современных обозначенияхПравить

В современных обозначениях алгоритм вычислений Брахмагупты выражается формулами:

 

Это интерполяционная формула Ньютона второго порядка[7][8].

ДоказательствоПравить

Неизвестно как Брахмагупта получил эту формулу[1]. В наше время такие формулы доказывают с помощью разложения функций   в правой расти равенства в ряд Тейлора в точке  . Однако доказать формулу можно и элементарными методами: после замены   формула Брахмагупты задаёт параболу проходящую через три точки  . Для вывода этой формулы достаточно найти коэффициенты этой параболы с помощью решения системы трёх линейных уравнений, определяемых этими точками.

Точность формулыПравить

Компьютерный расчёт показывает, что имея таблицу из 7 значений синуса в узлах с шагом 15 градусов, Брахмагупта мог вычислять эту функцию с максимальной ошибкой не более 0,0012 и средней ошибкой не более 0,00042.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 Gupta, R. C. Second-order interpolation in Indian mathematics upto the fifteenth century (англ.) // Indian Journal of History of Science : journal. — Vol. 4, no. 1 & 2. — P. 86—98.
  2. Van Brummelen, Glen. The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. — Princeton University Press, 2009. — P. 329. — ISBN 9780691129730. (p.111)
  3. Meijering, Erik. A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing (англ.) // Proceedings of the IEEE (англ.) : journal. — 2002. — March (vol. 90, no. 3). — P. 319—342. — DOI:10.1109/5.993400.
  4. Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
  5. Raju, C K. Cultural foundations of mathematics: the nature of mathematical proof and the transmission of the calculus from India to Europe in the 16th c. CE. — Pearson Education India, 2007. — P. 138–140. — ISBN 9788131708712.
  6. Завершающая часть алгоритма связана с тем, что математики до Брахмагупты и длительное время после него не пользовались понятием отрицательного числа. Поэтому реально вычислялась не разность, а модуль разности  , а потом это неотрицательное число прибавлялось или вычиталось, в зависимости от знака разности, определяемого с помощью неравенства.
  7. Milne-Thomson, Louis Melville. The Calculus of Finite Differences. — AMS Chelsea Publishing, 2000. — P. 67–68. — ISBN 9780821821077.
  8. Hildebrand, Francis Begnaud. Introduction to numerical analysis. — Courier Dover Publications, 1987. — P. 138–139. — ISBN 9780486653631.