Каирская пятиугольная мозаика

Каирская пятиугольная мозаика является двойственной полуправильной мозаикой на плоскости. Мозаика получила такое название по египетскому городу Каир, улицы которого вымощены такими плитками. Мозаика является одной из 15 известных равногранных (то есть имеющих грани только одного вида) пятиугольных мозаик.

Каирская пятиугольная мозаика
Тип	Двойственная полуправильная мозаика
Грани	неправильные пятиугольники
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Симметрия	p4g, [4+,4], (4*2) p4, [4,4]+, (442)
Симметрия вращения	p4, [4,4]+, (442)
Двойственная мозаика	плосконосая квадратная мозаика
Конфигурация грани	V3.3.4.3.4 |
Свойства	транзитивная по граням

Мозаика также называется сетью Макмагона по имени Перси Александра Макмагона, опубликовавшего в 1921 году статью «New Mathematical Pastimes» (Новые математические развлечения).

Конвей называет мозаику 4-fold pentille (4-кратный пятипаркет).

Как 2-мерная кристаллическая решётка мозаика имеет те же специальные свойства, что и шестиугольная решётка. Обе решётки являются стандартной реализацией (в терминах М. Котани и Т. Сунада) для кристаллических решёток общего вида.

Геометрия

Геометрия пятиугольников

Грани мозаики не являются правильными пятиугольниками — их стороны не равны (они имеют четыре длинные и одну короткую стороны с отношением $1:{\sqrt {3}}-1$), а углы пятиугольника составляют (последовательно) $120^{\circ },120^{\circ },90^{\circ },120^{\circ },90^{\circ }$. Мозаика имеет конфигурацию грани V3.3.4.3.4.

Мозаика похожа на призматическую пятиугольную мозаику с конфигурацией грани V3.3.3.4.4, но в этой мозаике два прямых угла находятся рядом.

Вариации

Каирская пятиугольная мозаика имеет два вида с пониженной симметрией, которые являются равногранными пятиугольными мозаиками типов 4 и 8:

p4 (442)	pgg (22×)
b=c, d=e B=D=90°	b=c=d=e 2B+C=D+2E=360°

Двойственная мозаика

Мозаика является двойственной для плосконосой квадратной мозаики, состоящей из двух квадратов и трёх равносторонних треугольников вокруг каждой вершины.

Связь с шестиугольными мозаиками

Эту мозаику можно рассматривать как объединение двух перпендикулярных шестиугольных мозаик, растянутых в ${\sqrt {3}}$ раз. Каждый Шестиугольник делится на четыре пятиугольника. Шестиугольники можно сделать вогнутыми, что приведёт к вогнутым пятиугольникам. Альтернативно, одну шестиугольную мозаику можно оставить правильной, а другую сжать и растянуть (в разных направлениях) в ${\sqrt {3}}$ раз, что приводит к образованию 2 видов пятиугольников.

Топологически эквивалентные мозаики

Как двойственная плосконосой квадратной мозаике данная мозаика имеет фиксированные пропорции. Однако её можно подстроить под другие геометрические формы с той же топологической связностью и другой симметрией. Например, эти мозаики топологически идентичны.

Переплетение «рогожка»		Наложение на каирскую мозаику

Усечённая каирская пятиугольная мозаика

Усечение 4-валентных вершин создаёт мозаику, связанную с многогранником Голдберга, и ей может быть дан символ {4+,4}_2,1. Пятиугольники усекаются до семиугольников. Двойственная мозаика к {4,4+}_2,1 имеет только треугольные грани и связана с геодезическим многогранником. Её можно рассматривать как плосконосую квадратную мозаику, в которой квадраты заменены четырьмя треугольниками.

Усечённая каирская пятиугольная мозаика

Кис-плосконосая квадратная мозаика

Связанные многогранники и мозаики

Каирская пятиугольная мозаика подобна призматической пятиугольной мозаике с конфигурацией граней V3.3.3.4.4, двум 2-однородным двойственным мозаикам и двум 3-однородным двойственным, в которых смешаны два типа пятиугольников. Здесь они нарисованы с выделением цветом рёбер.

V3.3.3.4.4

V3.3.4.3.4

Связанные пятиугольные мозаики
Каирская пятиугольная мозаика		2-однородные двойственные
p4g (4*2)		p2, (2222)	pgg (22×)	cmm (2*22)
V3.3.4.3.4		(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)
Призматическая пятиугольная мозаика		3-однородные двойственные
cmm (2*22)		p2 (2222)	pgg (22×)	p2 (2222)	pgg (22×)
V3.3.3.4.4		(V3.3.3.4.4; V3.3.4.3.4)

Каирская пятиугольная мозаика находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.4.3.n.

4n2 симметрии плосконосых мозаик: 3.3.4.3.n
Симметрия 4n2	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Paracomp.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Плосконосые мозаики
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гиро- мозаики
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Она также находится в последовательности двойственных плосконосых многогранников и мозаик с конфигурацией граней V3.3.n.3.n.

Варианты симметрии 4n2 плосконосых мозаик: 3.3.n.3.n
Симметрия 4n2	Сферияеские		Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные
	222	322	442	552	662	772	882	∞∞2
Тела с отсечёнными вершинами
Конфиг.	3.3.2.3.2	3.3.3.3.3	3.3.4.3.4	3.3.5.3.5	3.3.6.3.6	3.3.7.3.7	3.3.8.3.8	3.3.∞.3.∞
Повёрнытые тела
Конфиг.	V3.3.2.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.5.3.5	V3.3.6.3.6	V3.3.7.3.7	V3.3.8.3.8	V3.3.∞.3.∞

См. также

• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
• Список однородных мозаик

Литература

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Charming proofs: a journey into elegant mathematics. — Mathematical Association of America, 2010. — Т. 42. — (Dolciani mathematical expositions). — ISBN 978-0-88385-348-1.
• George Edward Martin. Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. — Springer, 1982. — С. 119. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90636-2.
• O'Keeffe M., Hyde B. G. Plane nets in crystal chemistry // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. — 1980. — Т. 295. — doi:10.1098/rsta.1980.0150. — .
• Major P. A. Macmahon. New Mathematical Pastimes. — University Press, 1921.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p288 table // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
• Chavey D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
• Kotani M., Sunada T. Standard realizations of crystal lattices via harmonic maps (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 2000. — Vol. 353.
• Sunada T. Topological Crystallography: With a View Towards Discrete Geometric Analysis. — Japan: Springer, 2012. — Т. 6. — (Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences). — ISBN 9784431541769.

Литература для дальнейшего чтения

• Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 58—65, 480 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings) (Tilings by polygons, #24 of 24 polygonal isohedral types by pentagons). — ISBN 0-7167-1193-1.
• Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 38. — ISBN 0-486-23729-X.
• David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. — London: Penguin, 1991. — С. 23. — ISBN 0140261494.
• Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — С. 77—76, pattern 3. — ISBN 0-500-34033-1.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cairo Tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.