Плосконосая квадратная мозаика

Плосконосая квадратная мозаика
Тип	Полуправильная мозаика
Конфигурация граней	3.3.4.3.4
Символ Шлефли	s{4,4} sr{4,4} или $s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}$
Символ Витхоффа	| 4 4 2
Диаграммы Коксетера — Дынкина	или
Симметрия	p4g, [4+,4], (4*2)
Симметрия вращения	p4, [4,4]+, (442)
Двойственная мозаика	Каирская пятиугольная мозаика
Свойства	вершинно транзитивная

Плосконосая квадратная мозаика — полуправильное замощение плоскости. В каждой вершине сходятся три треугольника и два квадрата. Символ Шлефли мозаики — s{4,4}.

Конвей называл эту мозаику snub quadrille (плосконосая кадриль), поскольку мозаика строится с применением операции snub (отсечения углов) к квадратной мозаике (в терминах Конвея — quadrille).

Существует 3 правильные и 8 полуправильных мозаик на плоскости.

Однородные раскраски

Существует 2 различные однородные раскраски плосконосой квадратной мозаики. Цвета граней по индексам цвета вокруг вершины (3.3.4.3.4), 11212), 11213.

Раскраска	11212	11213
Симметрия	4*2, [4+,4], (p4g)	442, [4,4]+, (p4)
Символ Шлефли	s{4,4}	sr{4,4}
Символ Витхоффа		| 4 4 2
Диаграммы Коксетера — Дынкина

Упаковка кругов

Плосконосую квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с пятью другими кругами упаковки (контактное число).

Построение Витхоффа

Плосконосую квадратную мозаику можно построить применением операции отсечения углов к квадратной мозаике или путём частичного усечения усечённой квадратной мозаики.

Частичное усечение удаляет каждую вторую вершину, создавая треугольные грани на месте удалённых вершин и уменьшает число сторон граней наполовину. В этом случае, начиная с усечённой квадратной мозаики с двумя восьмиугольниками и одним квадратом для каждой вершины, частичное усечение превращает восьмиугольные грани в квадраты, а квадратные грани вырождаются в рёбра, в результате чего появляются 2 дополнительных треугольника на месте усечённых вершин вокруг исходного квадрата. Если исходная мозаика состоит из правильных граней, вновь образованные треугольники будут равнобедренными. Если начать с восьмиугольников, в которых чередуются длинные и короткие стороны, образуется плосконосая мозаика с равносторонними треугольными гранями.

Пример:

Частично усечённые правильные восьмиугольники	→ (Частичное усечение)	Равнобедренные треугольники (Неоднородная мозаика)
Частично усечённые неправильные восьмиугольники	→ (Частичное усечение)	Равносторонние треугольники

Связанные мозаики

Эта мозаика связана с удлинёнными треугольными мозаиками, которые тоже имеют три треугольника и два квадрата на одну вершину, но порядок этих элементов в вершинной фигуре другой. Плосконосую квадратную мозаику можно считать связанной с этой трёхцветной квадратной мозаикой, в которой красные и жёлтые квадраты повёрнуты (с увеличением размера), а синие квадраты искривляются до ромбов, а затем разбиваются на два треугольника.

Связанные многогранники и мозаики

Плосконосая квадратная мозаика подобна удлинённой треугольной мозаике с вершинной конфигурацией 3.3.3.4.4 и двум 2-однородным двойственным мозаикам и двум 3-однородным двойственным мозаикам, в которых смешаны два типа пятиугольников:

3.3.3.4.4

3.3.4.3.4

Связанные мозаики из треугольников и квадратов
плосконосая квадратная мозаика	2-однородные
p4g, (4*2)	p2, (2222)	cmm, (2*22)
3.3.4.3.4	(3.3.3.4.4; 3.3.4.3.4)	(3.3.3.4.4; 3.3.4.3.4)
Удлинённая треугольная мозаика	3- однородные
cmm, (2*22)	p2, (2222)
3.3.3.4.4	(3.3.3.4.4; 3.3.4.3.4)	(3.3.3.4.4; 3.3.4.3.4)

Плосконосая квадратная мозаика является третьей в последовательности многогранников с отсечёнными вершинами и мозаик с вершинной фигурой 3.3.4.3.n.

4n2 симметрии плосконосых мозаик: 3.3.4.3.n
Симметрия 4n2	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Paracomp.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Плосконосые мозаики
Конфиг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гиро- мозаики
Конфиг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

Плосконосая квадратная мозаика является третьей в последовательности многогранников с отсечёнными вершинами и мозаик с вершинной фигурой 3.3.n.3.n.

Варианты симметрии 4n2 плосконосых мозаик: 3.3.n.3.n
Симметрия 4n2	Сферияеские		Евклидовы	Компактные гиперболические				Паракомпактные
	222	322	442	552	662	772	882	∞∞2
Тела с отсечёнными вершинами
Конфиг.	3.3.2.3.2	3.3.3.3.3	3.3.4.3.4	3.3.5.3.5	3.3.6.3.6	3.3.7.3.7	3.3.8.3.8	3.3.∞.3.∞
Повёрнытые тела
Конфиг.	V3.3.2.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.5.3.5	V3.3.6.3.6	V3.3.7.3.7	V3.3.8.3.8	V3.3.∞.3.∞

Однородные мозаики на основе симметрии квадратной мозаики
Симметрия: [4,4], (*442)							[4,4]+, (442)	[4,4+], (4*2)
{4,4}	t{4,4}	r{4,4}	t{4,4}	{4,4}	rr{4,4}	tr{4,4}	sr{4,4}	s{4,4}
Uniform duals
V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.8.8	V4.4.4.4	V4.4.4.4	V4.8.8	V3.3.4.3.4

См. также

• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости

Литература

• Chavey D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
• Klitzing, Richard «2D Euclidean tilings s4s4s — snasquat — O10» Архивная копия от 9 декабря 2017 на Wayback Machine
• Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 36. — ISBN 0-486-23729-X.
• Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 58—65 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings). — ISBN 0-7167-1193-1.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
• Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — С. 77—76, pattern 8. — ISBN 0-500-34033-1.
• Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 38. — ISBN 0-486-23729-X.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Semiregular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.