Квадра́тный парке́т, квадратный паркетаж[1], квадратная мозаика или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется 4 квадрата.

Квадратная мозаика
Тип Правильная мозаика[англ.]
Конфигурация
граней
4.4.4.4 (или 44)
|
Конфигурация
граней
V4.4.4.4 (или V44)
Символ
Шлефли
{4,4}
Символ
Витхоффа
4 | 2 4
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
node_14node4node
node_14node4node_1
node4node_14node
node_1infinnode2node_1infinnode
node_1infinnode_12node_1infinnode
node_1infinnode_12node_1infinnode_1
Симметрия p4m, [4,4], (*442)
Симметрия
вращения
], p4, [4,4]+, (442)|
Двойственная
мозаика
самодвойственны
Свойства вершинно транзитивная
гране транзитивная
рёберно транзитивная

Конвей называл эту мозаику quadrille (кадриль).

Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, так что четыре квадрата в вершине дают полный угол в 360 градусов. Мозаика является одной из трёх правильных мозаик на плоскости. Другие две — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика.

Однородные раскраски

править

Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112i получается из 1213, 1123i из 1234, а 1112ii из 1123ii.

 
Доска Го с камнями

Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п.

Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го.

Связанные многогранники и мозаики

править

Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5…

Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера —       при n, стремящемся к бесконечности.

Построение Витхоффа из квадратной мозаики

править

Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик[англ.], имеющих в основе правильную квадратную мозаику.

Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика.

Топологически эквивалентные мозаики

править
 
Изогональный вариант с двумя типами граней
 
2-изоэдральный вариант с ромбическими гранями

Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине).

Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цвет[2].

Изоэдральные четырёхугольные мозаики
             
Квадрат
p4m, (*442)
Четырёхугольник
p4g, (4*2)
Прямоугольник
pmm, (*2222)
Параллелограмм
p2, (2222)
Параллелограмм
pmg, (22*)
Ромб
cmm, (2*22)
Ромб
pmg, (22*)
           
Трапеция
cmm, (2*22)
Четырёхугольник
pgg, (22×)
Дельтоид
pmg, (22*)
Четырёхугольник
pgg, (22×)
Четырёхугольник
p2, (2222)
Вырожденные четырёхугольники или треугольники, не соприкасающиеся ребро-к-ребру
           
Равнобедренный
pmg, (22*)
Равнобедренный
pgg, (22×)
Неравносторонний
pgg, (22×)
Неравносторонний
p2, (2222)

Упаковка кругов

править

Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)[3]. Плотность упаковки равна  . Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов.

       

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

править

Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональна[4].

Самодвойственные Двойственные
     
4{4}4 или     2{8}4 или     4{8}2 или    

См. также

править

Примечания

править
  1. Голомб, 1975, с. 147.
  2. Grünbaum, Shephard, 1987, с. 473—481.
  3. Critchlow, 1987, с. 74—75.
  4. Coxeter, 1973, с. 111—112, 136.

Литература

править
  • Голомб С. В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
  • Coxeter H. C. M. Table II: Regular honeycombs // Regular Polytopes (book)[англ.]. — Third edition. — Dover Edition, 1973. — С. 296. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Klitzing, Richard 2D Euclidean tilings o4o4x — squat — O1 Архивная копия от 9 декабря 2017 на Wayback Machine
  • Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 36. — ISBN 0-486-23729-X.
  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 58—65 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings). — ISBN 0-7167-1193-1.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. Архивная копия от 19 сентября 2010 на Wayback Machine
  • Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. — New York: Thames & Hudson, 1987. — С. 77—76, pattern 8. — ISBN 0-500-34033-1.

Ссылки

править