Изогональная фигура

Изогональный или вершинно транзитивный многогранник — многогранник, все вершины которого эквивалентны. В частности все вершины окружены одним и тем же видом граней в том же самом (или обратном) порядке и с теми же самыми углами между соответствующими гранями. Термин также может быть применён к многоугольникам или замощениям и так далее.

Формально, мы говорим, что для любых двух вершин существует симметрия политопа, отображающая первую вершину изометрично во вторую. Другой путь сказать то же самое — что группа автоморфизмов политопа транзитивна на его вершинах, или что вершины лежат внутри одной орбиты симметрии.

Все вершины конечной n-мерной изогональной фигуры существуют на (n-1)-сфере.

Термин изогональный давно использовался в контексте многогранников. Термин вершинно транзитивный является синонимом, позаимствованным из современных идей групп симметрии и теории графов.

Четырёхскатный повернутый куполне являющийся изогональным — демонстрирует, что утверждение «все вершины выглядят одинаковыми» не столь ограничительно, как определение, приведённое выше, которое вовлекает группу изометрий, сохраняющую многогранник или мозаику.

Изогональные многоугольники и бесконечноугольникиПравить

 
 
Изогональные бесконечноугольники
 
 
 
 
 
 
Изогональные пространственные бесконечноугольники[en]

Все правильные многоугольники, бесконечноугольники и правильные звёздчатые многоугольники являются изогональными. Двойственная фигура для изогонального многоугольника — изотоксальный многоугольник.

Некоторые многоугольники с чётным числом сторон и бесконечноугольники, с попеременными двумя длинами сторон, например прямоугольник, являются изогональными.

Все плоские изогональные 2n-угольники имеют диэдральную симметрию (Dn, n=2,3,...) с осями симметрии через середины сторон.

D2 D3 D4 D7
 
Изогональные прямоугольники и скрещенные прямоугольники[en] имеют одно и то же расположение вершин[en]
 
Изогональная гексаграмма с 6 идентичными вершинами и двумя длинами рёбер [1]
 
Изогональный выпуклый восьмиугольник с синими и красными радиальными осями симметрии
 
Изогональный «звёздчатый» четырнадцатиугольник с одним типом вершин и двумя типами рёбер [2].

Изогональные 3-мерные многогранники и 2D-мозаикиПравить

Изогональные мозаики
 
Деформированная квадратная мозаика
 
Деформированная
усечённая квадратная мозаика

Изогональный многогранник (3D) и 2D-мозаика имеют единственный вид вершин. Изогональный многогранник с правильными гранями является также однородным многогранником и может быть представлен нотацией вершинной конфигурации, путём последовательного перечисления граней вокруг каждой вершины. Геометрически деформированные варианты однородных многогранников и мозаик могут также быть заданы вершинной конфигурацией.

Изогональные (3D) многогранники
D3d, порядок 12 Th, порядок 24 Oh[en], порядок 48
4.4.6 3.4.4.4 4.6.8 3.8.8
 
Деформированная шестиугольная призма
 
Деформированный ромбокубооктаэдр
 
Слегка усечённый кубооктаэдр
 
Сверхусечённый куб

Изогональные 3D-многогранники и 2D-мозаики можно классифицировать далее

Размерность N(> 3) — изогональные многогранники и мозаикиПравить

Определения изогональных фигур могут быть распространены на многогранники более высоких размерностей и соты. В общем случае все однородные многогранники являются изогональными, например, однородные 4-мерные многогранники[en] и выпуклые однородные соты[en].

Двойственный многогранник для изогонального многогранника является изотопическим[en], т.е. транзитивен по фасетам.

k-изогональные и k-однородные фигурыПравить

Многогранник или соты называются k-изогональными, если его вершины образуют k классов транзитивности. Более ограничивающий термин, k-однородный определяется как k-изогональная фигура, состоящая только из правильных многоугольников. Они могут быть представлены визуально различными цветами однородной раскраски[en].

 
Этот усечённый ромбододекаэдр[en] является 2-изогональным, поскольку он содержит два класса транзитивности вершин. Этот многогранник состоит из квадратов и сплюснутых шестиугольников.
 
Эта полуправильная мозаика является также 2-изогональной2-однородной). Эта мозаика состоит из правильных треугольных и правильных шестиугольных граней.
 
2-изогональная 9/4 эннеаграмма

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Coxeter, 1931, p. 509—521.
  2. Grünbaum, 1996, p. Figure 1. Parameter t=2.0.

ЛитератураПравить

  • Grünbaum, Branko. . The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History / Ed. by Richard K. Guy, Robert E. Woodrow. — The Mathematical Association of America, 1996. Figure 1. Parameter t=2.0
  • Coxeter H. S. M.  The densities of the regular polytopes, Part II // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1931. — P. 509—521.
  • Cromwell, Peter R. . Polyhedra. — Cambridge University Press, 1997. — P. 369 Transitivity. — ISBN 0-521-55432-2.
  • Grünbaum B., Shephard G. C. . Tilings and Patterns. — W. H. Freeman and Company, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1. (p. 33 k-isogonal tiling; p. 65 k-uniform tilings)

СсылкиПравить