Усечённый кубооктаэдр

Усечённый кубооктаэдр
Усечённый кубооктаэдр
Усечённый кубооктаэдр
Тип Полуправильный многогранник
Грань квадрат,
шестиугольник,
восьмиугольник
Граней
Рёбер
Вершин
Граней при вершине
Телесный угол

4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08"
4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135°
6-8:arccos(-sqrt(3)/3)=125°15’51"

Точечная группа
симметрии
Октаэдрическая,
[4,3]+, (432), порядок 24
Двойственный
многогранник
Гекзакисоктаэдр
Ромбоусечённый додекаэдр
Развёртка Развёртка
Раскраска граней
С раскраской
граней
Вершинная фигура


Вершинная фигура

Усечённый кубооктаэдр[1][2], усечённый кубоктаэдр[3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.

Другие названияПравить

Этот многогранник имеет несколько названий:

Название усечённый кубооктаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками. Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.

Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра, который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр.

Также существует невыпуклый однородный многогранник[en] с тем же именем — невыпуклый большой ромбокубооктаэдр[en].

Декартовы координатыПравить

Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Площадь и объёмПравить

Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:

 
 

РассечениеПравить

Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 квадратными куполами[en] над первичными квадратными гранями, 8 треугольными куполами[en] над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.

Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать тороиды Стюарта[en] рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию[8][9].

Тороиды Стюарта
Род 3 Род 5 Род 7 Род 11
       

Однородные раскраскиПравить

Существует только одна однородная раскраска[en] граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.

Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.

Ортогональные проекцииПравить

Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в A2 и B2 плоскости Коксетера с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.

Ортогональные проекции
Центрированы относительно Вершины Ребра
4-6
Ребра
4-8
Ребра
6-8
Нормали к грани
4-6
Изображение          
Проективная
симметрия
[2]+ [2] [2] [2] [2]
Центрированы относительно Нормали к
квадрату
Нормали к
восьмиграннику
Квадратной
грани
Шестиугольной
грани
Восьмиугольной
грани
Изображение          
Проективная
симметрия
[2] [2] [2] [6] [8]

Сферические мозаикиПравить

Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.

   
квадрат-центрированная
 
шестиугольник-центрированная
 
восьмиугольник-центрированная
Ортогональная проекция Стереографические проекции

Связанные многогранникиПравить

Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдральные многогранники
Симметрия: [4,3], (*432)[en] [4,3]+, (432) [3+,4], (3*2)
                 
                                                     
{4,3} t{4,3} r{4,3} t{3,4} {3,4} rr{4,3} tr{4,3} sr{4,3} s{3,4}
Двойственные многогранники
                 
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V35

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина      . Для p < 6 члены последовательности являются общеусечёнными[en] многогранниками (зоноэдрами), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с усечённой трисемиугольной мозаики[en].

*n32 мутации по симметрии полностью усечённых мозаик: 4.6.2n
Симметрия
*n32[en]
n,3[en]
Сферическая Евклидова Компактная гиперболическая Паракомп. Некомпактная гиперболическая
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
 
[12i,3]
 
[9i,3]
 
[6i,3]
 
[3i,3]
Фигуры                        
Конфигурация 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12[en] 4.6.14[en] 4.6.16[en] 4.6.∞[en] 4.6.24i 4.6.18i 4.6.12i 4.6.6i
Двойственная                        
Конфигурация грани V4.6.4[en] V4.6.6 V4.6.8[en] V4.6.10 V4.6.12[en] V4.6.14[en] V4.6.16[en] V4.6.∞ V4.6.24i V4.6.18i V4.6.12i V4.6.6i
*n42 симметрии общеусечённых мозаик: 4.8.2n
Симметрия
*n42
[n,4]
Сферическая Евклидова Компактная гиперболическая Паракомп.
*242
[2,4]
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]…
*∞42
[∞,4]
Общеусечённая
фигура
 
4.8.4
 
4.8.6
 
4.8.8
 
4.8.10
 
4.8.12
 
4.8.14
 
4.8.16
 
4.8.∞
Общеусечённые
двойственные
 
V4.8.4
 
V4.8.6
 
V4.8.8
 
V4.8.10
 
V4.8.12
 
V4.8.14
 
V4.8.16
 
V4.8.∞

Граф усечённого кубооктаэдраПравить

Граф усечённого кубооктаэдра
 
Вершин 48
Рёбер 72
Автоморфизмы 48
Хроматическое число 2
Свойства

кубический
гамильтонов
регулярный,


нуль-симметричный[en]
  Медиафайлы на Викискладе


В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра) — это граф вершин и рёбер[en] усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, нульсимметричен[en] и является кубическим архимедовым графом [10].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить