Курно́сый куб[1], или плосконо́сый куб[2][3], — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников. В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.

Курносый куб
«Правый» вариант (вращающаяся модель, 3D-модель)
«Правый» вариант
(вращающаяся модель, 3D-модель)
«Левый» вариант (вращающаяся модель, 3D-модель)
«Левый» вариант
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип архимедово тело
Свойства выпуклый, изогональный, хиральный
Комбинаторика
Элементы
38 граней
60 рёбер
24 вершины
Χ = 2
Грани 32 треугольника,
6 квадратов
Конфигурация вершины 34.4
Двойственный многогранник пентагональный икоситетраэдр
Классификация
Обозначения sC
Символ Шлефли sr{4,3}
Группа симметрии O (хиральная октаэдрическая)
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Имеет 60 рёбер равной длины.

Название «курносый куб» (лат. cubus simus) дал этому многограннику Иоганн Кеплер в трактате 1619 года «Гармония мира». Гарольд Коксетер, отметив, что многогранник родствен октаэдру в той же мере, что и кубу, предлагал называть его «курносым кубооктаэдром».

В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с курносым додекаэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Преобразование ромбокубооктаэдра в «левый» и «правый» курносые кубы.

Метрические характеристики и углы

править

При определении метрических свойств курносого куба приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для платоновых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и ахиральных архимедовых тел, не допускает евклидова построения[4]. То же верно и для курносого додекаэдра, а также для двойственных им каталановых тел.

При описании метрических свойств и углов курносого куба важную роль играет константа трибоначчи:

 .

Если курносый куб имеет ребро длины  , его площадь поверхности и объём выражаются как

 
 

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

 

Вписать в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром   (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

 

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит   и равно

 

Двугранные углы между двумя смежными треугольными гранями курносого куба равны   между смежными квадратной и треугольной гранями  

Телесный угол при вершине равен  

В координатах

править

«Левый» курносый куб можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты 12 его вершин были всевозможными чётными перестановками тех троек чисел   среди которых чётное число отрицательных, а координаты остальных 12 вершин — всевозможными нечётными перестановками тех троек, среди которых нечётное число отрицательных.

Если поступить наоборот — взять чётные перестановки троек с нечётным числом минусов и нечётные перестановки троек с чётным числом минусов — получим «правый» вариант курносого куба.

Начало координат   в обоих случаях будет центром описанной и полувписанной сфер многогранника.

Примечания

править
  1. Веннинджер, 1974, с. 20, 41.
  2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
  3. Люстерник, 1956, с. 183.
  4. У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.

Ссылки

править

Литература

править
  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
  • Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
  • Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.