Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение

Преобразования

$Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),$

$P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),$

$j=1,\ldots ,s,$, где $s$ — число степеней свободы,

${\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots ,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots ,q_{s};p_{1},\ldots ,p_{s})}}\neq 0,$

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона $H$:

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},$

${\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},$

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона ${\mathcal {H}}$:

${\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},$

${\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.$

Переменные $Q_{i}$ и $P_{i}$ называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а $q_{i}$ и $p_{i}$ — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции

Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

$\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^{s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,$

где постоянную $c\neq 0$ называют валентностью канонического преобразования, $dF$ — полный дифференциал некоторой функции $F(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t)$ (предполагается, что $P_{i}$ и $Q_{i}$ также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых $c=1$ называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные $c$ изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных $p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i}$, причём выбор независим для каждого $i=1,\cdots ,s$. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого $i$ одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции $F$ имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)$. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции $F$. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех $i$ возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

$F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}(p,P,t),$

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов $q=(q_{1},\cdots ,q_{2})$ $p=(p_{1},\cdots ,p_{2})$, аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа

Пусть $F_{1}(q,Q,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,$

кроме того, задано некоторое число $c\neq 0$, тогда пара $(F_{1},c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}},$

$P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}},$

${\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$\det \left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)\neq 0.$

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа

Пусть $F_{2}(q,P,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.$

кроме того, задано некоторое число $c\neq 0$, тогда пара $(F_{2},c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}},$

$Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P}},$

${\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$\det \left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)\neq 0.$

Производящая функция 3-го типа

Пусть $F_{3}(p,Q,t)$ — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.$

кроме того, задано некоторое число $c\neq 0$, тогда пара $(F_{3},c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}},$

$P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},$

${\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$\det \left({\frac {\partial Q}{\partial q}}\right)\neq 0.$

Производящая функция 4-го типа

Пусть $F_{4}(p,P,t)$ — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.$

кроме того, задано некоторое число $c\neq 0$, тогда пара $(F_{4},c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}},$

$Q={\frac {\partial F_{4}}{\partial P}},$

${\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p,P,t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$\det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.$

Примеры

1. Тождественное преобразование

$Q=q,$

$P=p,$

${\mathcal {H}}=H$

может быть получено при:

$F_{2}=qP,\quad c=1.$

2. Если задать

$F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta ,$

то полученное преобразование будет иметь вид:

$Q=\alpha p,$

$P=\beta q.$

${\mathcal {H}}=-\alpha \beta H$

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

$Q=-q,$

$P=-p,$

${\mathcal {H}}=H$

может быть получено при:

$F_{2}=-qP,\quad c=1.$

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

$F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,$

тогда

$Q=\varphi (q,t).$

В частности, если

$F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,$

где $A,$ — ортогональная матрица:

$A^{T}A=E,$

то

$Q=Aq,$

$P=A^{T}p.$

К точечным преобразования приводит и функция:

$F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,$

тогда

$q=-\phi (Q,t).$

В частности функция

$F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,$

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных $(p,q)$ системы с одной степенью свободы:

$Q=\alpha q+\beta p$

$P=\gamma q+\delta p$

является унивалентным каноническим преобразованием при

$\alpha \delta -\beta \gamma =1,$

производящая функция:

$F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2}.$

Такие преобразования образуют специальную линейную группу $SL(2,\mathbb {R} )$.

Действие как производящая функция

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

${\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt$

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

$\lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,$

$\lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,$

$\lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.$

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций $f(Q,P,t)$ и $g(Q,P,t)$ условия:

$\lbrace f,g\rbrace _{pq}=c\lbrace f,g\rbrace _{PQ},$

где под $\lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{pq}$ и $\lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{PQ}$ понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

$\lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}$

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

$[p_{i},p_{k}]=0,$

$[q_{i},q_{k}]=0,$

$[q_{i},p_{k}]=c\delta _{ik}.$

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..
• Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — СПб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..