Скобки Лагранжа

Ско́бки Лагра́нжа — бинарная операция в гамильтоновой механике, тесно связанная с другой бинарной операцией, скобками Пуассона. Скобки Лагранжа были введены Лагранжем в 1808—1810 для математических выражений в классической механике. В отличие от скобок Пуассона, в настоящее время скобки Лагранжа практически не используются.

Определение

Пусть (q₁, …, q_n, p₁, …, p_n) — система канонических координат в фазовом пространстве. Если каждую из них выразить как функцию двух переменных, u и v, то скобки Лагранжа от u и v определяются формулой

$[u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).$

Следует отметить, что эта формула совпадает с определением скобок Пуассона с точностью до перестановки числителей и знаменателей в операторах частных производных.

Свойства

• Скобки Лагранжа (как и скобки Пуассона) антикоммутативны, что очевидно непосредственно из определения:

$[u,v]_{q,p}=-[v,u]_{q,p}.$

• Скобки Лагранжа не зависят от системы канонических координат (q, p). Если (Q,P) = (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) является другой системой канонических координат, то

$Q=Q(q,p),P=P(q,p)$

является каноническим преобразованием, так что скобки Лагранжа являются инвариантом преобразования, в том смысле, что

$[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.$

Вследствие этого индексы, показывающие канонические координаты, часто опускаются.

• Если Ω является симплектическим пространством в 2n-мерном фазовом пространстве W и u₁, …, u_2n образует систему координат в W, то канонические координаты (q, p) могут быть выражены как функции от координат u и матрица скобок Лагранжа

$[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n$

представляет компоненты Ω, рассматриваемые как тензор в координатах u. Эта матрица является обратной к матрице, образованной скобками Пуассона

$\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n$

в координатах u.

• Как следствие предыдущих свойств, координаты (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) в фазовом пространстве являются каноническими тогда и только тогда, когда скобки Лагранжа между ними имеют вид

$[Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.$

См. также

• Лагранжева механика
• Гамильтонова механика

Литература

• Cornelius Lanczos. The Variational Principles of Mechanics. — Dover, 1986. — ISBN 0-486-65067-7.
• Patrick Iglesias. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Math. — 1998. — Т. (2) 44, вып. 3-4. — С. 257–277.MR: 1659212

Ссылки

• Eric W. Weisstein. Lagrange bracket (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• A.P. Soldatov. Encyclopedia of Mathematics / Hazewinkel, Michiel. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.