Квантование Дирака

Квантова́ние Дира́ка — эвристический аргумент, предложенный П. Дираком и показывающий, что однозначность предсказаний квантовой механики с электрическими зарядами может быть сохранена в теории, включающей магнитные монополи, лишь при условии совместного квантования магнитного и электрического зарядов.

Вывод условия квантования Дирака для магнитного монополяПравить

Поле, создаваемое магнитным монополем, может быть описано 4-векторным потенциалом Аμ, если допустить существование скачка Aμ на некоторой (произвольной) поверхности S, проходящей через магнитный монополь и делящей пространство на две связные части[1]. При этом напряжённость магнитного поля непрерывна на поверхности S всюду, кроме точки расположения магнитного монополя, а сама поверхность может быть произвольным образом деформирована с помощью калибровочных преобразований. Циркуляция скачка A по любому контуру, лежащему на S и охватывающему магнитный монополь, равна магнитному потоку, исходящему из магнитного монополя, то есть (согласно теореме Гаусса) его магнитному заряду g. Контурный интеграл от 4-вектора A даёт вклад в фазу φ волновой функции пробной частицы с электрическим зарядом e, и скачок φ, соответствующий скачку Аμ на поверхности S, равен   При выполнении условия Дирака   так что волновая функция непрерывна во всём пространстве. К тому же скачок Аμ не даёт вклада в напряжённость магнитного поля, которая определяется законом Кулона, поэтому поверхность S ненаблюдаема. В качестве этой поверхности можно выбрать уходящий на бесконечность конус, в вершине которого находится магнитный монополь, а угол при вершине сколь угодно мал («струна» или «нить» Дирака).

Можно показать, что эффект магнитного монополя сводится к замене   на   (n — целое число в условии Дирака) в центробежном потенциале радиального уравнения Шрёдингера[2], при этом орбитальный угловой момент   может принимать значения

 
  при  
  при  
  при  
  при  

Заметим, что при нечётном n система из двух бесспиновых частиц благодаря ненулевой дивергенции магнитного поля обладает полуцелым угловым моментом. Таким образом, из двух бозонов с ненулевыми полными электрическими и магнитными зарядами образуется дион (частица, несущая одновременно электрический и магнитный заряды), подчиняющийся статистике Ферми — Дирака, т.е. фермион. Аналогично связанное состояние бозона и фермиона может быть бозоном.

ПримечанияПравить

  1. Wu Tai Tsun, Yang Chen Ning. Static sourceless gauge field (англ.) // Physical Review D. — 1976. — 15 June (vol. 13, no. 12). — P. 3233—3236. — DOI:10.1103/PhysRevD.13.3233.
  2. Tamm Ig. Die verallgemeinerten Kugelfunktionen und die Wellenfunktionen eines Elektrons im Felde eines Magnetpoles (нем.) // Zeitschrift fuer Physik. — 1931. — März (Bd. 71, Nr. 3-4). — S. 141—150. — DOI:10.1007/BF01341701. (Русский перевод: Обобщенные шаровые функции и волновые функции электрона в поле магнитного полюса // Тамм И. Е.. Собрание научных трудов (Том 1), М., Наука, 1975.)