Компактификация Бора

Компактификация Бора топологической группы G — это бикомпактная топологическая группа H, которая может быть канонически ассоциирована с группой G. Её важность состоит в сведении теории равномерно почти периодических функций на G к теории непрерывных отображений на H. Концепция названа именем датского математика Харальда Бора, который первым начал изучение почти периодических функций на вещественной прямой.

Определения и основные свойства

Если задана топологическая группа G, компактификация Бора группы G — это бикомпактная топологическая группа $\mathbf {Bohr} (G)$ и непрерывный гомоморфизм

$\mathbf {b} \colon G\to \mathbf {Bohr} (G),$

который является универсальным по отношению к гомоморфизмам в бикомпактные группы. Это означает, что если K является другой бикомпактной топологической группой и

$f\colon G\to K$

является непрерывным гомоморфизмом, то имеется единственный непрерывный гомоморфизм

$\mathbf {Bohr} (f)\colon \to K,$

такой что $f=\mathbf {Bohr} (f)\circ b$f = Bohr(f) ∘ b.

Теорема. Компактификация Бора существует и единственна с точностью до изоморфизма.

Обозначим компактификацию Бора группы G через $\mathbf {Bohr} (G),$ а каноническое отображение через

$\mathbf {b} :G\rightarrow \mathbf {Bohr} (G).$

Соответствие $G\mapsto \mathbf {Bohr} (G)$ определяет ковариантный функтор на категории топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.

Компактификация Бора тесно связана с теорией конечномерных унитарных представлений топологических групп. Ядро группы b состоит в точности из тех элементов группы G, которые не могут быть отделены от тождественного элемента группы G конечномерным унитарным представлением.

Компактификация Бора сводит также многие проблемы теории почти периодических функций на топологических группах к проблемам функций на компактных группах.

Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на топологической группе G является однородно почти периодической тогда и только тогда, когда множество правых переносов $_{g}f$, где

$[{}_{g}f](x)=f(g^{-1}\cdot x),$

относительно компактно в равномерной топологии при изменении g в G.

Теорема. Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на G равномерно почти периодична, если существует непрерывная функция $f_{1}$ на $\mathbf {Bohr} (G)$ (единственно определённая), такая что

$f=f_{1}\circ \mathbf {b} .$

Максимально почти периодические группы

Топологические группы, для которых отображение компактификации Бора инъективно, называются максимально почти периодическими (МПП группами). В случае, если G локально компактная связная группа, МПП группы полностью определены — это в точности произведение компактных групп на векторные группы конечной размерности.

См. также

• Компактное пространство
• Компактификация
• Множество с отмеченной точкой
• Компактификация Стоуна — Чеха
• Уоллменовская компактификация

Литература

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Bohr compactification", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4