Круговой критерий

Круговой критерий — условие абсолютной устойчивости нелинейной системы управления c нелинейностью, лежащей в секторе.

Формулировка

Рассматривается следующая система управления:

${\dot {x}}=Ax+Bu,$

$y=Cx,$

$u=-\psi (t,y),$

где $x\in \mathbb {R} ^{n}$, $u,y\in \mathbb {R}$, $A,B,C$ — матрицы подходящих размерностей, $\psi$ — нелинейная функция со значениями в $\mathbb {R}$. Передаточная функция $G(s)$ данной системы равна $C(sE-A)^{-1}B$. Предполагается, что

• пара $(A,B)$ управляема,
• пара $(A,C)$ наблюдаема,
• функция $\psi$ лежит в секторе $[\alpha ,\beta ]$ для некоторых вещественных чисел $\alpha$ и $\beta$, то есть

$\alpha y^{2}\leqslant y\psi (t,y)\leqslant \beta y^{2},\ \forall t\geqslant 0,\ \forall y\in \mathbb {R} .$

Тогда система абсолютно устойчива (то есть она равномерно асимптотически устойчива с любой нелинейностью $\psi$, удовлетворяющей секторному условию), если выполняется одно из следующих условий:

1. при $0<\alpha <\beta$ годограф Найквиста $G(i\omega )$ не пересекает окружность диаметра ${\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\beta }}$ с центром в точке $\left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right),0\right)$ и оборачивается вокруг неё $m$ раз, двигаясь против часовой стрелки, где $m$ — количество полюсов $G(s)$, имеющих положительную вещественную часть.
2. при $0=\alpha <\beta$ функция $G(s)$ — гурвицева и годограф Найквиста $G(i\omega )$ лежит справа от вертикальной прямой $\left\lbrace z\in \mathbb {C} \ |\ {\mbox{Re}}(z)=-1/\beta \right\rbrace$.
3. при $\alpha <0<\beta$ функция $G(s)$ — гурвицева и годограф Найквиста $G(i\omega )$ целиком содержится внутри окружности диаметра ${\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{\beta }}$ с центром в точке $\left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right),0\right)$.

Каждое из геометрических условий является частным случаем следующего частотного неравенства:

${\mbox{Re}}\left({\dfrac {1+\beta G(i\omega )}{1+\alpha G(i\omega )}}\right)>0,\ \forall \omega \in \mathbb {R} .$

Критерий получил своё название из-за фигурирующих в условиях 1 и 3 кругов. Условие 2 аналогично условию другого критерия абсолютной устойчивости — критерия Попова.

Литература

• Khalil, H. K.. Nonlinear systems (англ.). — 2nd ed. — Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996. — ISBN 0-13-228024-8.