Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Неравенство Коши (неравенство о средних) гласит, что для любых неотрицательных чисел верно неравенство:

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда .

Часть конуса , определяемая средним геометрическим чисел и (красная), лежит между плоскостью , определяемой средним арифметическим (синяя), и частью конуса , определяемой средним гармоническим (зелёная)

ОпределенияПравить

Выражение

 

называется средним арифметическим чисел  .

Выражение

 

называется средним геометрическим чисел  .

Выражение

 

называется средним гармоническим чисел  .

Выражение

 

называется средним квадратическим чисел  .

Связанные результатыПравить

ИсторияПравить

Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу в 1821 году[1].

ДоказательствоПравить

При n=2Править

 
Рис. 1

Количество доказательств этого неравенства на данный момент сравнимо, наверное, только с количеством доказательств теоремы Пифагора. Приведем красивое геометрическое доказательство для случая  . Пускай нам даны два отрезка длины   и  . Тогда построим окружность диаметром   (см. рис. 1). От одного из концов диаметра отметим точку   на расстоянии  . Проведем через эту точку перпендикуляр к диаметру; полученная прямая пересечет окружность в двух точках,   и  . Рассмотрим полученную хорду. Треугольник   прямоугольный, так как угол   — вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, а значит, прямой. Итак,   — высота треугольника  , а высота в прямоугольном треугольнике есть среднее геометрическое двух сегментов гипотенузы. Значит,  . Аналогично, из треугольника   получаем, что  , поэтому  . Так как   — хорда окружности с диаметром  , а хорда не превосходит диаметра, то получаем, что  , или же  . Заметим, что равенство будет тогда, когда хорда будет совпадать с диаметром, то есть при  .

Обобщенное неравенствоПравить

 

Поделим обе части неравенства на   и произведем замену  . Тогда при условиях   необходимо доказать, что  (1).

Воспользуемся методом математической индукции.

Нужно доказать, что если  , то  . Воспользуемся неравенством (1), которое по предположению индукции считаем доказанным для n. Пусть  . Тогда выполнены оба условия   и предполагается доказанным неравенство  или  . Теперь заменим  на  . Это возможно сделать в силу того, что   или  , что, очевидно выполняется, так как  . Таким образом, неравенство доказано.

Отражение в культуреПравить

Эпизод с доказательством, что среднее арифметическое больше среднего геометрического, присутствует в одной из сцен кинофильма «Сердца четырёх» 1941 года.

ПримечанияПравить

  1. Cauchy, Augustin-Louis. Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. Première partie. Analyse algébrique. — Paris, 1821. — С. 457—459.

ЛитератураПравить