Среднее степени d (или просто среднее степенное ) — разновидность среднего значения . Для набора положительных вещественных чисел
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
определяется как
A
d
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
d
n
d
.
{\displaystyle A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{d}}{n}}}.}
При этом по принципу непрерывности относительно показателя d доопределяются следующие величины:
A
0
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
lim
d
→
0
A
d
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∏
i
=
1
n
x
i
n
;
{\displaystyle A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};}
A
+
∞
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
lim
d
→
+
∞
A
d
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
max
{
x
1
,
…
,
x
n
}
;
{\displaystyle A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};}
A
−
∞
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
lim
d
→
−
∞
A
d
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
min
{
x
1
,
…
,
x
n
}
.
{\displaystyle A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.}
Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего .
Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.
Другие названия
править
Так как среднее степени d обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым .
По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому .
Частные случаи
править
Средние степеней 0, ±1, 2 и
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
имеют собственные имена:
A
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
m
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
называется средним арифметическим ;
(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, делённая на n )
A
0
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
g
=
x
1
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}
называется средним геометрическим ;
(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n -ой степени из произведения этих чисел)
A
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
h
=
n
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
n
{\displaystyle A_{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
называется средним гармоническим .
(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)
A
2
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
s
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
+
x
n
2
n
{\displaystyle A_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}
называется средним квадратичным (квадратическим) , известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространёнными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней
+
∞
{\displaystyle +\infty }
и
−
∞
{\displaystyle -\infty }
этих чисел:
max
{
x
1
,
…
,
x
n
}
=
A
+
∞
(
x
1
,
…
,
x
n
)
;
{\displaystyle \operatorname {max} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n});}
min
{
x
1
,
…
,
x
n
}
=
A
−
∞
(
x
1
,
…
,
x
n
)
.
{\displaystyle \operatorname {min} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n}).}
Неравенство о средних
править
Неравенство о средних утверждает, что для любых
d
1
>
d
2
{\displaystyle d_{1}>d_{2}}
A
d
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
≥
A
d
2
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle A_{d_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{d_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}
,
причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов
x
1
=
…
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}
.
Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная
A
d
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})}
по
d
{\displaystyle d}
неотрицательна и обращается в ноль только при
x
1
=
…
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}
(например, используя неравенство Йенсена ), и далее применить формулу конечных приращений .
Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
править
Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
max
{
x
1
,
…
,
x
n
}
≥
x
1
+
…
+
x
n
n
≥
(
x
1
⋅
…
⋅
x
n
)
1
/
n
≥
n
1
x
1
+
…
+
1
x
n
≥
min
{
x
1
,
…
,
x
n
}
,
{\displaystyle \max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},}
где каждое из неравенств обращается в равенство только при
x
1
=
…
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}
.