В теории динамических систем, нормальная форма Пуанкаре — Дюлака — нормальная форма векторного поля или обыкновенного дифференциального уравнения в окрестности своей особой точки.
Формулировка
правитьРезонансы
правитьПо определению, резонансом для набора называется равенство
((*)) |
где .
Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями , называется моном
где и для и выполнено (*).
Теорема Пуанкаре — Дюлака
правитьУказанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака.
Связанные понятия
правитьОбласти Пуанкаре и Зигеля
правитьГоворят, что вектор принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек . В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор принадлежит строгой области Зигеля.
В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.
Теорема Левелля
правитьТеорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки
может рассматриваться как линейный по вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы
Литература
править- Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы — 1 // Итоги науки и техн. — Сер. «Соврем. пробл. мат. Фундам. направления». — №1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — с. 7—140.
- Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Differential Equations.
Для улучшения этой статьи желательно:
|