Слабая производная

(перенаправлено с «Обобщённая производная»)

«Слабая производная» (в математике) — обобщение понятия производной функции («сильная производная») для функций, интегрируемых по Лебегу (то есть из пространства ), но не являющихся дифференцируемыми.

ОпределениеПравить

Пусть   — функция из  . Функцию   из   называют «слабой производной»  , если

 

для всех непрерывно дифференцируемых функций   при  . Это определение основано на методе интегрирования по частям.

Обобщая на   измерений, если   и   принадлежат пространству   локально интегрируемых функций для некоторой области  , и если   — это мультииндекс, то   называется слабой производной   порядка  , если

 

для всех   — финитных в   бесконечно гладких функций.

Если у функции   есть слабая производная, то её часто обозначают через  , так как она единственна с точностью до множества меры нуль.

ПримерыПравить

  • Функция u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, которая не имеет производной в точке t = 0, тем не менее имеет на промежутке [−1, 1] слабую производную v, так называемую «функцию знака» (sgn), определяемую следующим соотношением:
 
Это не единственная производная u: всякая функция w совпадающая с v почти всюду также будет слабой производной u. Обычно это не является проблемой, так как с точки зрения и пространств Lp, и пространств Соболева они эквивалентны.
 
Таким образом,   есть слабая производная функции D. Это должно быть интуитивно понятно, ведь D в пространстве Lp эквивалентна тождественному нулю.

СвойстваПравить

  • Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, то они совпадают на множестве полной меры (почти всюду). Если, как принято в пространствах  , полагать почти всюду равные функции эквивалентными, то слабая производная определена единственным образом.
  • Если u имеет обычную («сильную») производную, тогда она будет являться слабой производной. В этом смысле, слабая производная является обобщением сильной. Более того, классические правила для производных от суммы и от произведения функций сохраняются и для слабых производных.

РазвитиеПравить

Понятие слабой производной заложило основу для построения т. н. слабых решений в пространстве Соболева, которые оказались полезными в теории дифференциальных уравнений и в Функциональном анализе.

ЛитератураПравить

  • Михлин С.Г. Курс математической физики. — 2-е, стереотипное. — СПб.: Лань, 2002. — 576 с. — ISBN 5-8114-0468-9.
  • Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
  • Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.