Отображение тент в теории динамических систем задаётся следующим образом:
Для значений отображение тент переводит отрезок в себя, являясь динамической системой c дискретным временем. В частности, орбитой точки из интервала является последовательность :
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Gencasen.png/220px-Gencasen.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Iterations123.png/220px-Iterations123.png)
Несмотря на то, что отображение тент является довольно простой нелинейной динамической системой, оно демонстрирует ряд свойств, характерных и для более сложных систем: плотность периодических орбит, перемешивание, чувствительность к начальным условиям, т.е. хаотичность[1].
Свойства
править- Если , является притягивающей неподвижной точкой: система будет стремиться к нулю с устремлением времени в бесконечность при любом исходном значении из отрезка .
- Если , все — неподвижные точки, а — предпериодические точки единичного периода (после одной итерации переходят в неподвижные).
- Если , то отображение имеет две неподвижные точки: и . Причем обе из них будут неустойчивыми, то есть значения , лежащие в окрестностях неподвижных точек, будут отдаляться от них с последующими итерациями. Более того, для таких значений , в интервале содержатся и периодические, и непериодические точки.
- Если , то система отображает множество интервалов из отрезка в себя, и их объединение является множеством Жюлиа отображения тент, т.е. множеством точек, чьи орбиты неустойчивы.
- увеличение показывает, что при μ ≈ 1, множество Жюлиа состоит из нескольких интервалов. На диаграммах видно 4 и 8 интервалов при достаточном увеличении.
-
Бифуркационная диаграмма отображения тент. Более высокая плотность соответствует более высокой вероятности, что переменная x примет данное значение для параметра
-
При увеличении вблизи острия видно 4 интервала
-
При дальнейшем увеличении видно 8 интервалов
- Если , то интервалы из отрезка сходятся и множество Жюлиа — это весь интервал (см. бифуркационную диаграмму).
- Если , то система переводит отрезок [0;1] в себя. В этом случае периодические точки плотны на отрезке, так что отображение демонстрирует хаотичность[2]. Непериодическое поведение характерно только для иррациональных чисел, что может быть показано с помощью механизма, которым отображение действует на представленное в двоичной записи число: оно перемещает двоичную запятую вправо на один знак, а затем, если то, что оказалось слева от запятой — это единица, отбрасывает её и обращает все единицы в нули и наоборот (кроме последней единицы для чисел с конечной двоичной записью). Для иррационального числа, двоичная запись которого непериодична, это бесконечный процесс. Кроме того, стоит обратить внимание, что для отображение тент топологически сопряжено логистическому отображению для и полусопряжен отображению удвоения, что указывает на сходство динамических свойств этих отображений[3]. Действительно, пусть — орбита отображения тент при , а — орбита логистического отображения для , тогда они связаны соотношением: .
- Если , множество Жюлиа отображения все еще содержит бесконечное количество и периодических, и непериодических точек, но почти всюду точки отрезка стремятся к бесконечности. Само множество становится канторовым. В частности, множество Жюлиа отображения тент для — стандартное канторово множество.
Асимметричное отображение тент
правитьТакже объектом изучения теории динамических систем является асимметричное отображение тент . Его можно считать расширением случая стандартного отображения тент:
Асимметричное отображение тент сохраняет вид кусочно-линейной функции и может быть использовано для представления вещественных чисел из по аналогии с десятичной записью[4].
См. также
правитьЛитература
править- ↑ Lynch, Stephen. "Nonlinear discrete dynamical systems." Dynamical Systems with Applications using Maple. Birkhäuser Boston, 2010. 263-295.
- ↑ Li, Tien-Yien, and James A. Yorke. "Period three implies chaos." American mathematical monthly (1975): 985-992.
- ↑ Smale, Stephen, Morris W. Hirsch, and Robert L. Devaney. "Discrete dynamical systems." Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Vol. 60. Academic Press, 2003. 327-357.
- ↑ Lagarias, J. C., H. A. Porta, and K. B. Stolarsky. "Asymmetric tent map expansions. I. Eventually periodic points." Journal of the London Mathematical Society 2.3 (1993): 542-556.