Поверхность Больцы (кривая Больцы) — компактная риманова поверхность рода 2 с максимальным возможным порядком конформной группы автоморфизмов для этого порядка, а именно, с группой GL2(3) порядка 48. Полная группа автоморфизмов (включая отражения) является полупрямым произведением порядка 96. Аффинная модель поверхности Больцы может быть получена как геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению

в . Поверхность Больцы является гладким расширением[англ.] аффинной кривой. Из всех гиперболических поверхностей рода 2, поверхность Больцы имеет наивысшую систолу. Как гиперэллиптическая[англ.] риманова поверхность она возникает как разветвлённое двойное покрытие римановой сферы с точками разветвления в шести вершинах правильного октаэдра[англ.], вписанного в сферу, как можно ясно видеть из приведённой формулы.

Треугольная поверхность

править
 
Замощение поверхности Больцы отражениями области является фактором Рассечённая восьмиугольная мозаика порядка 3[англ.].

Поверхность Больцы является (2,3,8)-треугольной поверхностью (треугольник Шварца): фуксова группа, определяющая поверхность Больцы, является подгруппой группы, образованной отражениями относительно сторон гиперболического треугольника с углами  . Эта подгруппа является подгруппой с индексом группы отражений, которая состоит из произведения чётного числа отражений, и которая имеет абстрактное представление в терминах генераторов   и отношений  , а также  . Фуксова группа  , определяющая поверхность Больцы, является также подгруппой (3,3,4) группы треугольника, которая является подгруппой с индексом 2 группы треугольника (2,3,8). Группа (2,3,8) не имеет реализации в терминах алгебры кватернионов, но группа (3,3,4) — имеет.

Под действием   на диск Пуанкаре фундаментальной областью поверхности Больцы является правильный восьмиугольник с углами   в точках

 ,

где  . Противоположные стороны восьмиугольника отождествляются под действием фуксовой группы. Генераторами служат матрицы:

 ,

где   и  , вместе с их обратными. Генераторы удовлетворяют соотношению:

 

См. также

править

Литература

править
  • Oskar Bolza. On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves // American Journal of Mathematics. — 1887. — Т. 10, вып. 1. — С. 47–70. — doi:10.2307/2369402. — JSTOR 2369402.
  • Katz M., Sabourau S. An optimal systolic inequality for CAT(0) metrics in genus two // Pacific J. Math.. — 2006. — Т. 227, вып. 1. — С. 95–107. — doi:10.2140/pjm.2006.227.95. — arXiv:math.DG/0501017.
  • Maclachlan C., Reid A. The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. — New York: Springer, 2003. — Т. 219. — (Graduate Texts in Math.). — ISBN 0-387-98386-4.