Мультиномиальное распределение

(перенаправлено с «Полиномиальное распределение»)

Мультиномиа́льное (полиномиа́льное) распределе́ние в теории вероятностей — это обобщение биномиального распределения на случай n>1 независимых испытаний случайного эксперимента с k>2 возможными исходами.

Определение

править

Пусть   — независимые одинаково распределённые случайные величины, такие, что их распределение задаётся функцией вероятности[1]:

 .

Интуитивно событие   означает, что испытание с номером   привело к исходу  . Пусть случайная величина   равна количеству испытаний, приведших к исходу  :

 .

Тогда распределение вектора   имеет функцию вероятности

 ,

где

  — мультиномиальный коэффициент.

Вектор средних и матрица ковариации

править

Математическое ожидание случайной величины   имеет вид[1]:  . Диагональные элементы матрицы ковариации   являются дисперсиями биномиальных случайных величин, а следовательно

 .

Для остальных элементов имеем

 .

Ранг матрицы ковариации мультиномиального распределения равен  .

Примечания

править
  1. 1 2 Гроот, 1974, с. 55—56.

Литература

править
  • М. де Гроот[англ.]. Оптимальные статистические решения = Optimal Statistical Decisions. — М.: Мир, 1974. — 492 с.