Порядковая статистика

Поря́дковые стати́стики в математической статистике — это упорядоченная по неубыванию выборка одинаково распределённых независимых случайных величин и её элементы, занимающие строго определенное место в ранжированной совокупности.

Определение

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — конечная выборка из распределения $\mathbb {P} ^{X}$, определённая на некотором вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$. Пусть $\omega \in \Omega$ и $x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n$. Перенумеруем последовательность $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ в порядке неубывания, так что

$x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n-1)}\leq x_{(n)}$.

Эта последовательность называется вариационным рядом. Вариационный ряд и его члены являются порядковыми статистиками. Случайная величина $X_{(k)}(\omega )=x_{(k)}$ называется $k$-ой порядковой статистикой исходной выборки. Порядковые статистики являются основой непараметрических методов.

Замечания

Очевидно из определения:

• $X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})$;
• $X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$.

Порядковые статистики абсолютно непрерывного распределения

• Пусть дана независимая выборка $X_{1},\ldots ,X_{n}$ из абсолютно непрерывного распределения, задаваемого плотностью распределения $f_{X}$ и функцией распределения $F_{X}$. Тогда порядковые статистики также имеют абсолютно непрерывные распределения, и их плотности распределения имеют вид:

$f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)$.

• Случайный вектор $\left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top }$, где $1\leq j<k\leq n$ также имеет абсолютно непрерывное распределение, и совместная плотность распределения имеет вид:

$f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X}(x_{j})]^{k-j-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{n-k}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k}),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matrix}}\right.$.

Пример

Плотности стандартного непрерывного равномерного распределения и его порядковых статистик для случая n=5.

Пусть $U_{1},\ldots ,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]$ - выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения. Тогда

• $f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{n-k},\quad u\in [0,1]$,

то есть $U_{(k)}\sim \mathrm {B} (k,n-k+1)$, где $\mathrm {B}$ - бета-распределение;

• $f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{k-j-1}[1-u_{k}]^{n-k},\quad j<k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1$;
• $f_{U_{(1)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},\ldots ,u_{n})=n!,\quad 0\leq u_{1}\leq \cdots \leq u_{n}\leq 1$.

См. также

• Статистика (функция выборки)
• Алгоритм выбора