Приближение почти свободных электронов

Приближение почти свободных электронов — метод в квантовой теории твёрдого тела, в котором периодический потенциал кристаллической решётки считается малым возмущением относительно свободного движения валентных электронов.

Приближение почти свободных электронов предусматривает возникновение узких запрещённых зон в результате брегговской дифракции электронов на периодическом потенциале кристаллической решётки.

Математическая формулировка

Гамильтониан, что описывает движение электрона в потенциальном поле ядер атомов в приближении среднего поля задаётся формулой

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )$,

где $\hbar$ — постоянная Планка, m — масса электрона,$V(\mathbf {r} )$ — периодический потенциал, который учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решёткой и другими электронами.

Волновую функцию электрона, которая должна удовлетворять теореме Блоха, можно искать в виде разложения в ряд Фурье

$\psi _{\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\sum _{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} +\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }$,

где $\mathbf {k}$ — волновой вектор, $\mathbf {G}$ — вектор обратной решётки.

Если потенциал $V(\mathbf {r} )$ малый по величине по сравнению с кинетической энергией электрона, то движение электронов можно считать почти свободным. Энергия электрона задаётся формулой

$E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}.$

Эта формула справедлива всюду в зоне Бриллюэна, кроме того случая, когда волновая функция поступательного движения электрона будет интерферировать с волной, рассеянной на периодическом потенциале. Такая ситуация складывается тогда, когда $\mathbf {k} \approx \mathbf {G} /2$. В этой области волновых векторов используется приближение, согласно которому амплитуды прямой и рассеянной волны определяются системой уравнений:

$\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} }+V_{\mathbf {-G} }a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0$,

$\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }+V_{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} }=0$,

где $V_{\mathbf {G} }$ — коэффициенты разложения потенциала в ряд Фурье. Эта система уравнений имеет нетривиальное решение при выполнении условия

$\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)-V_{\mathbf {G} }V_{\mathbf {-G} }=0$,

что задаёт закон дисперсии электронных состояний на границе зоны Бриллюэна. Непосредственно на границе ($\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{2}/2$)

$E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}\pm |V_{\mathbf {G} }|$.

В промежутке энергий между $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}-|V_{\mathbf {G} }|$ и $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}+|V_{\mathbf {G} }|$ электронных уровней нет, чем определяется существование узкой запрещённой зоны.

См. также

• Одноэлектронное приближение
• Приближение сильно связанных электронов

Литература

Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников (неопр.). — Москва: Наука., 1978.