Принцип аргумента

Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему:

Контур C изображён чёрным, нули f — синим, а полюса — красным. В данном случае $\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(4-5)$.

Теорема. Если функция $f$ мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области $G$ с гладкой границей $\partial G$ и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула:

$N-P={1 \over 2\pi i}\int \limits _{\partial G}{df \over f}={1 \over 2\pi }\Delta _{\partial G}\,\operatorname {arg} \,f$ ,

где $N$ и $P$ — количества соответственно нулей и полюсов функции $f$ в $G$, учтённых каждый с его кратностью, а $\Delta _{\partial G}\,\operatorname {arg} \,f$ — изменение аргумента $f(z)$ при обходе вдоль контура области $G$ (ориентация контура стандартная).

Доказательство

Пусть $f(z)=(z-a)^{k}g(z)$, причём функция $g$ голоморфна в точке $a$ и не равна в ней нулю (точка $a$ из области $G$). Тогда

${df \over f}=k{dz \over z-a}+{dg \over g}$.

Так как 1-форма ${\frac {dg}{g}}$ голоморфна в точке $a$, её вычет в этой точке равен нулю, и вычет формы ${\frac {df}{f}}$ в точке $a$ равен $k$, то есть он равен порядку нуля (или минус порядку полюса) функции $f$ в этой точке.

Используя эти соображения и основную теорему о вычетах, интеграл в формулировке теоремы можно вычислить явно:

${1 \over 2\pi i}\int \limits _{\partial G}{df \over f}=\sum \limits _{a}\operatorname {res} _{a}{df \over f}=N-P$.

Таким образом, первая половина формулы доказана.

Чтобы доказать вторую половину формулы, проведём простой разрез $\Gamma$ внутри области $G$, проходящий через все нули и полюса функции $f$, и выходящий на границу области $G$ в некоторой точке $z_{0}$. Область с разрезом $G$\$\Gamma$ теперь односвязна, и замкнутая 1-форма ${\frac {df}{f}}$ не имеет особенностей внутри неё и на контуре $\partial G$ , и значит точна в ${\overline {G}}\setminus \Gamma$, то есть допускает там первообразную $F(z)$. Функция $F(z)$ будет первообразной для формы ${\frac {df}{f}}$ также и вдоль контура области $G$ с выколотой точкой $z_{0}$. Поэтому можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

$\int \limits _{\partial G}{df \over f}=\int \limits _{\partial G\setminus \{z_{0}\}}dF=F(z_{0}-0)-F(z_{0}+0)$.

Так как $dF={\frac {df}{f}}=d(\ln f)$, то функция $F(z)$ с точностью до константы совпадает с некоторой однозначной ветвью логарифма функции $f$, и поэтому справедливо равенство:

$F(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)+{\rm {const}}$.

Подставляя это выражение в формулу Ньютона-Лейбница, окончательно получаем:

$\int \limits _{\partial G}\,{\frac {df}{f}}=F(z_{0}-0)-F(z_{0}+0)=i(\arg f(z_{0}-0)-\arg f(z_{0}+0))=i\Delta _{\partial G}\arg f$.

См. также

• Теорема Абеля — Плана
• Аргумент