Производная Пинкерле

(перенаправлено с «Производная Пинкерля»)

В математике, производная Пинкерле T’ линейного оператора T:K[x] → K[x] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End(K[x]). T.e. T’ является ещё одним линейным оператором T’:K[x] → K[x]

Более подробно, на многочлене этот оператор действует следующим образом:

Названа в честь итальянского математика Сальваторе Пинкерле.

Свойства

править

Производная Пинкерле, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора   и  , принадлежащих  , выполняется

  1.   ;
  2.   где   является композицией операторов ;

Также   где   — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.

Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерле равна

 

По индукции, эта формула обобщается до

 

Это доказывает, что производная Пинкерле дифференциального оператора

 

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерле есть дифференцирование  .

Оператор сдвига

 

может быть записан

 

с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерле равняется

 

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерле, чей спектр есть все пространство скаляров  .

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с Sh или  , мы также имеем:  , так что   также является инвариантным к тому же сдвигу  .

Дельта-оператор[англ.] дискретного времени

 

это оператор

 

чья производная Пинкерле — оператор сдвига  .

См. также

править

Ссылки

править