Рациональные тригонометрические суммы

Рациональные тригонометрические суммы — комплексные суммы особого вида, которые могут использоваться при доказательстве теорем аналитической теории чисел

Определение

Рациональными тригонометрическими суммами называются суммы вида ${S_{\varphi }}(q)=\sum \limits _{x=1}^{q}{e^{2\pi i{\frac {\varphi (x)}{q}}}}$, где $\varphi (x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}$ — многочлен с целыми коэффициентами, причём $(a_{0},\dots ,a_{n},q)=1$ (при нетривиальном наибольшем общем делителе дробь можно сократить и привести к общему виду).

Некоторые оценки

При оценке рациональных тригонометрических сумм в математике рассматривают, как правило, верхнюю оценку на модуль суммы, так как его значительно проще оценивать. В связи с этим принимается, что $a_{0}=0$, так умножение такой суммы на $e^{2\pi ia_{0}}$ не изменяет её абсолютной величины.

Частные случаи

Линейные суммы

Если $\varphi (x)=ax$, то, пользуясь нотацией Айверсона, можно указать, что ${S_{\varphi }}(q)=q[{q\mid a}]$. Доказательство этого факта тривиально следует из того, что сумма корней из единицы по любому целому основанию нулевая. Такие суммы называются линейными.

Суммы Гаусса (квадратичные)

Рациональные тригонометрические суммы над многочленами вида $\varphi (x)=ax^{2}$ называются суммами Гаусса.

Для таких сумм известны точные значения абсолютной величины, а именно

$|{S_{\varphi }}(q)|={\begin{cases}{\sqrt {q}},&q\equiv 1\mod 2\\{\sqrt {2q}},&q\equiv 0\mod 4\\0,&q\equiv 2\mod 4\end{cases}}$

Общие оценки

Далее для удобства изложения примем $n=\deg \varphi$.

Хуа вывел оценку $|{S_{\varphi }}(q)|<c(n)q^{1-{\frac {1}{n}}}$, где $c(n)$ — константа, зависящая только от $n$. То есть $|{S_{\varphi }}(q)|=O(q^{1-{\frac {1}{n}}})$ при фиксированном $n$.

Если $\varphi (x)=ax^{n}$, то при простом $q>2$ верна более точная оценка $|{S_{\varphi }}(q)|\leq (n-1){\sqrt {q}}$.

Частичные линейные суммы

Пользуясь стандартной формулой суммы геометрической прогрессии, можно вывести, что для $\varphi (x)={\frac {ax}{q}}$ выполнено

$\left\vert {\sum \limits _{x=1}^{m}{e^{2\pi i\varphi (x)}}}\right\vert =\left\vert {\frac {e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}-e^{2\pi i{\frac {a(m+1)}{q}}}}{1-e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}}}\right\vert \leq {\frac {2}{\min \left({\left\lbrace {\frac {a}{q}}\right\rbrace ,1-\left\lbrace {\frac {a}{q}}\right\rbrace }\right)}}$,

где $\left\lbrace {x}\right\rbrace$ означает дробную часть числа $x$.

Невозможность некоторых нетривиальных оценок

А. А. Карацуба доказал, что при $n>\left({{\frac {1}{2\log {2}}}-\varepsilon }\right){\frac {p}{\log {p}}},\ \varphi (x)=ax^{n}$ существует бесконечно много простых $p$, для которых $|S_{\phi }(p)|>\left({1-\delta (\varepsilon )}\right)p$, где $\delta (\varepsilon )\to 0$ при $\varepsilon \to 0$, то есть при таких $n$ для соответствующих тригонометрических сумм невозможны оценки сверху, необходимые для большинства приложений.

Применение

В первом доказательстве квадратичного закона взаимности (Гаусс, 1795) использовались суммы Гаусса над многочленом вида $\varphi (x)={\frac {ax^{2}}{q}}$.

Виноградов с помощью рациональных тригонометрических сумм вывел приближённое описание распределения квадратичных вычетов и невычетов.

Рассматриваемые суммы могут также находить применение при доказательстве проблемы Варинга методами аналитической теории чисел.

История

Тригонометрические суммы впервые применил Гаусс в 1795 году для доказательства квадратичного закона взаимности.

См. также

• Суммы Рамануджана
• Суммы Вейля
• Формула Эйлера