Риманова субмерсия

Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.

Определение

Пусть $(M,g)$ и $(N,h)$ — римановы многообразия. Гладкое отображение $f\colon (M,g)\to (N,h)$ называется римановой субмерсией, если для любой точки $x$ существует изометрическое линейное вложение $\imath _{x}\colon T_{f(x)}N\to T_{x}M$ такое, что $\imath _{x}\circ d_{x}f$ есть ортогональная проекция. Здесь $d_{x}f$ обозначает дифференциал отображения $f$ в точке $x$.

Для вектора $X\in T_{f(x)}$ вектор ${\overline {X}}=\imath _{x}(X)$ называется горизонтальным поднятием $X$.

Формула О’Нэйла

Пусть $f\colon N\to M$ — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей $X$, $Y$ на $M$, значение тензора кривизны $R_{M}$ можно вычислить, используя формулу О’Нэйла

$\langle R_{M}(X,Y)V,W\rangle =\langle R_{N}({\overline {X}},{\overline {Y}}){\overline {V}},{\overline {W}}\rangle +{\tfrac {1}{2}}\langle [{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V},[{\overline {V}},{\overline {W}}]^{V}\rangle +{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {V}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {W}}]^{V}\rangle -{\tfrac {1}{4}}\langle [{\overline {X}},{\overline {W}}]^{V},[{\overline {Y}},{\overline {V}}]^{V}\rangle$.

где ${\overline {X}},{\overline {Y}},{\overline {V}},{\overline {W}}$ — горизонтальные поднятия полей $X,Y,V,W$ соответственно, $[{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}$ — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей ${\overline {X}},{\overline {Y}}$ на $N$.

В частности,

$\langle R_{M}(X,Y)Y,X\rangle =\langle R_{N}({\overline {X}},{\overline {Y}}){\overline {Y}},{\overline {X}}\rangle +{\tfrac {3}{4}}\left|[{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}\right|^{2}$,

Замечания

• $[{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}$ является тензором, то есть его значение в точке зависит только от значений горизонтальных векторов ${\overline {X}}$ и ${\overline {Y}}$ в этой точке.

Следствия

• Абсолютная величина $[{\overline {X}},{\overline {Y}}]^{V}$ в точке $p\in N$ зависит только от точки $p$ и значений $X$ и $Y$ в точке $f(p)$.
• Если тотальное пространство римановой субмерсии имеет секционную кривизну $\geqslant \kappa$, то то же верно и для его базы.

Вариации и обобщения

• Субметрия — 1-липшицево и 1-колипшицево отображение между метрическими пространствами.

Литература

• Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.
• Бессе А. Многообразия Эйнштейна. — М.: Мир, 1990. — ISBN 5-03-002066-7., том 2, стр. 326—379.