Симплициальный объёмтопологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия обычно обозначается .

Определение править

Пусть   — замкнутое многообразие, тогда

 ,

где   — рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса   через сумму сингулярных симплексов.

 

Свойства править

  • Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
  • Для любых многообразий   и   той же размерности
     ,
где   обозначает связную сумму.
  • Существуют положительные числа   и   такие, что если сумма размерностей  , то
     ,
где   обозначает прямое произведение.
  • Для любого отображения  
     
где   обозначает степень отображения  . В частности:
  • Если многообразие   допускает отображение   степени  , то  .
  • Для любого   симплициальный объём  -мерной сферы равен  .
  • Теорема Бессона — Куртуа — Гало.[2] Следующее неравенство
     
выполняется для произвольного замкнутого  -меного риманова пространства   с кривизной Риччи не меньше  .

Примечания править

  1. Corollary 5.3, Löh, Clara. Simplicial volume (англ.) // Bulletin of the Manifold Atlas. — 2011. Архивировано 25 февраля 2021 года.
  2. Théorème D, G. Besson, G. Courtois, S. Gallot. Volume et entropie minimale des espaces localementsymétriques // Invent. Math.. — 1991. — Т. 103, № 2. — С. 417—445.

Литература править

  • Прасолов, Виктор Васильевич. Элементы теории гомологий. — МЦНМО, 2006. — 448 с. — (Классические направления в математике).