Симплициальный объём
Симплициальный объём — топологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия обычно обозначается .
Определение
правитьПусть — замкнутое многообразие, тогда
- ,
где — рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса через сумму сингулярных симплексов.
Свойства
править- Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
- Более того, Симплициальный объём асферического (и даже рационально существенного) многообразия с гиперболической фундаментальной группой положителен.[1]
- Для любых многообразий и той же размерности
- ,
- где обозначает связную сумму.
- Существуют положительные числа и такие, что если сумма размерностей , то
- ,
- где обозначает прямое произведение.
- Для любого отображения
- где обозначает степень отображения . В частности:
- Если многообразие допускает отображение степени , то .
- Для любого симплициальный объём -мерной сферы равен .
- Теорема Бессона — Куртуа — Гало.[2] Следующее неравенство
- выполняется для произвольного замкнутого -меного риманова пространства с кривизной Риччи не меньше .
Примечания
править- ↑ Corollary 5.3, Löh, Clara. Simplicial volume (англ.) // Bulletin of the Manifold Atlas. — 2011. Архивировано 25 февраля 2021 года.
- ↑ Théorème D, G. Besson, G. Courtois, S. Gallot. Volume et entropie minimale des espaces localementsymétriques // Invent. Math.. — 1991. — Т. 103, № 2. — С. 417—445.
Литература
править- Прасолов, Виктор Васильевич. Элементы теории гомологий. — МЦНМО, 2006. — 448 с. — (Классические направления в математике).