Гомеоморфизм

(перенаправлено с «Топологический инвариант»)

Гомеоморфи́змнепрерывное обратимое преобразование пространства. Является центральным понятием топологии.

Гомеоморфность кружки и бублика (полнотория)

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства эквивалентны.

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: ὅμοιος — похожий и μορφή — форма.

Определение

править

Пусть   и   — два топологических пространства. Функция   называется гомеоморфизмом, если:

Иными словами,   биективна и для любого подмножества   условие   выполняется в том и только в том случае, если  .

Если между пространствами   и   существует гомеоморфизм, то пишут   или   и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.

Примеры

править
  • Произвольный открытый интервал   гомеоморфен всей вещественной прямой  . Гомеоморфизм   задаётся, например, формулой
 
В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.
  • Отрезок   не гомеоморфен вещественной прямой  . Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.
  • Если  , то  .
  • Теорема о гомеоморфизме[источник не указан 502 дня]. Пусть   — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть   — биекция. Тогда   является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда   строго монотонна и непрерывна на  

Топологические инварианты и свойства

править

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть топологическим многообразием.

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.

Локальный гомеоморфизм

править

Непрерывное отображение   топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки пространства   имеется такая окрестность  , что образ   открыт в   и сужение   является гомеоморфизмом[1].

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение   является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой   в окружность  . Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений   и   первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.

См. также

править

Примечания

править

Литература

править
  • Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
  • Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
  • Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
  • Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М.. Элементарная топология. — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.

Ссылки

править