Фундаментальный класс

Фундаментальным классом, или ориентацией, называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.

Фундаментальный класс многообразия $M$ обычно обозначается $[M]$.

Определение

Замкнутое ориентируемое многообразие

Если многообразие $M$ размерности $n$ является связным ориентируемым и замкнутым, то $n$-я группа гомологий является бесконечной циклической: $H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$. При этом ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма $\mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )$. Порождающий элемент называется фундаментальным классом.

Если ориентируемое многообразие $M=\bigcup \limits _{i}M_{i}$ является несвязным, то в качестве фундаментального класса формально можно сопоставить сумму $\sum \limits _{i}[M_{i}]$ фундаментальных классов всех его связных компонент $M_{i}$. Сопоставление формально, поскольку эта сумма не является порождающим элементом для группы $H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \dots \oplus \mathbb {Z}$.

Неориентируемое многообразие

Для неориентируемого многообразия группа $H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0$, если при этом $M$ является связным и замкнутым, то $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}$. Порождающий элемент группы $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})$ называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия $M$.

$\mathbb {Z} _{2}$-фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.

Многообразие с краем

Если $M$ является компактным ориентируемым многообразием с краем $\partial M$, то $n$-я относительная группа гомологий является бесконечной циклической: $H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z}$. Порождающий элемент группы $H_{n}(M,\partial M)$ называется фундаментальным классом многообразия с краем.

Двойственность Пуанкаре

Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм двойственности Пуанкаре

$D:H^{k}(M;\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )$ (для ориентируемого)

и

$D:H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{n-k}(M;\mathbb {Z} _{2})$ (для неориентируемого)

многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:

$D(\alpha )=[M]\frown \alpha$,

где $\frown$ обозначает $\frown$-умножение гомологических и когомологических классов.

Степень отображения

Пусть $M$, $N$ — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности. Если $f:M\to N$ — непрерывное отображение, то

$f_{\ast }[M]=k[N]$,

где $f_{\ast }$ — индуцированный $f$ гомоморфизм (групповых колец), а $k=\deg(f)$ — степень отображения $f$.

Литература

• А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии — М: Наука, 1989.
• А. Дольд Лекции по алгебраической топологии — М: Мир, 1976.