Вариационный ряд

Вариационный ряд (упорядоченная выборка) — последовательность $X_{(1)}\leqslant X_{(2)}\leqslant \cdots \leqslant X_{(n-1)}\leqslant X_{(n)}$, полученная в результате расположения в порядке неубывания исходной последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин $X_{1},\ldots ,X_{n}$. Вариационный ряд и его члены представляют собой так называемые порядковые статистики, и используются в математической статистике как основа непараметрических методов. По функции распределения $F(x)$ исходных случайных величин вычисляются распределения любого члена вариационного ряда и совместные распределения его членов.

Вариационный ряд служит для построения функции эмпирического распределения ${\hat {F}}(x)=\mu (x)/n$ , где $\mu (x)$ — число членов вариационного ряда меньших $x$, которая является оценкой функции распределения $F(x)$ случайных величин $X_{1},\ldots ,X_{n}$. Согласно теореме Гливенко — Кантелли эта фундаментальная непараметрическая статистика сходится к функции распределения почти наверное.

Величина $X_{(k)}$ называется k-й порядковой статистикой.

Крайние члены $X_{(1)}$ и $X_{(n)}$ называются экстремальными значениями вариационного ряда.

Промежуток $(X_{(1)},X_{(n)})$ между крайними членами вариационного ряда называется интервалом варьирования, его длина $W_{n}=X_{(n)}-X_{(1)}$ называется размахом выборки.

Величина $X_{(m+1)}$ при нечётном $n=2m+1$ или величина $(X_{(m+1)}+X_{(m)})/2$ при чётном $n=2m$ называется выборочной медианой и служит оценкой медианы распределения.