Неассоциативное кольцо

Неассоциативное кольцо (не обязательно ассоциативное кольцо) — общеалгебраическая структура, обобщение понятия кольца, определяется сходным с кольцом образом, но при этом не требуется ассоциативность умножения. Иногда под «кольцом» понимается это его обобщение, но большинство источников по алгебре включают в определение термина «кольцо» условие ассоциативности умножения.

Определение

Неассоциативное кольцо — множество $R$, на котором заданы две бинарные операции: $+$ и $\times$ (называемые сложением и умножением), со следующими свойствами, выполняющимися для любых $a,b,c\in R$:

1. $a+b=b+a$ — коммутативность сложения;
2. $a+(b+c)=(a+b)+c$ — ассоциативность сложения;
3. $\exists 0\in R\ \left(a+0=0+a=a\right)$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. $\forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)$ — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. $\left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=a\times b+a\times c\\(b+c)\times a=b\times a+c\times a\end{matrix}}\right.$ — дистрибутивность.

Иными словами, неассоциативное кольцо — это универсальная алгебра $\langle R,+,\times ,0\rangle$, такая что алгебра $\langle R,+\rangle$ — абелева группа, и операция $\times$ дистрибутивна слева и справа относительно $+$.

Кольцо, в котором операция умножения обладает свойством альтернативности, называется альтернативным.

Свойства

Даже если кольцо имеет единицу, не работает привычное понятие обратимого элемента: обратный может существовать с одной стороны и отсутствовать с другой, могут существовать с обеих сторон но быть разными, или существовать различные односторонние обратные к одному элементу. Также, наличие каких-либо обратных не гарантирует, что элемент не делит нуль, и не сохраняется при перемножении.

Аналогично обычным кольцам, неассоциативное кольцо можно рассмотреть как неассоциативную алгебру над кольцом целых чисел.

Примеры

Алгебры (не обязательно ассоциативные) над полем или над кольцом являются неассоциативными кольцами.

Неассоциативными кольцами являются алгебры Ли и йордановы алгебры (с учётом определения как алгебр над кольцом целых чисел).

Полуполе — структура с делением, в которой ненулевые элементы которой образуют квазигруппу по умножению, также является неассоциативным кольцом.

Ссылки

• Л. А. Бокуть. Неассоциативные кольца и алгебры // Математическая энциклопедия (рус.). — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.