Сателлитный узел

Сателлитный узел — конструкция позволяющая построить новый узел из двух узлов с определёнными дополнительными структурами. Эта конструкция включает связную сумму узлов а также удвоение Уайтхеда как частные случаи.

Удвоение Уайтхеда восьмёрки — пример сателлитного узла.

Другой пример сателлитного узла для связной суммы вольмёрки и трилистника.

Построение

Сателлитный узел $K$ можно описать следующим образом: начните с нетривиальныого узла $K'$ лежащего внутри незаузленного полнотория $V$. «Нетривиальный» означает, что $K'$ не может лежать в шаре вложенном в $V$ и не изотопен центральной кривой полнотория. Затем завязать полноторие в нетривиальный узел. То есть применить нетривиальное вложение $f\colon V\to \mathbb {S} ^{3}$, такое, что и $K=f(K')$. При этом образ центральной кривой полнотория $V$ называется компаньёном $K$.

Обычно дополнительно предполагают, что вложение $f\colon V\to \mathbb {S} ^{3}$ раскрученно, то есть $f$ не меняют индекс зацепления двух окружностей в $V$.

История

В 1949 году Хорст Шуберт доказал, что каждый ориентированный узел в $\mathbb {S} ^{3}$ разлагается в связную сумму узлов и это разложение единственно с точностью до перестановки. Вскоре после этого, он понял, что может дать новое доказательство этой теоремы анализируя несжимаемые торы, в дополнении к связной сумме. Это привело его к исследованию общих несжимаемых торов в дополнении узла, и к определению сателлитного узла

См. также

• Гиперболический узел
• Торический узел