Сходимость по распределению

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и определённые на нём случайные величины $X,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ^{m},\,n=1,2,\ldots$. Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на $\mathbb {R} ^{m}$, называемую её распределением.

Случайные величины $X_{n}$ сходятся по распределению к случайной величине $X$, если распределения $\mathbb {P} ^{X_{n}}$ слабо сходятся к распределению $\mathbb {P} ^{X}$, то есть

$\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X_{n}}(dx)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{m}}f(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx)$

для любой непрерывной ограниченной функции $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$.

Замечания

• Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

$\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} f(X_{n})=\mathbb {E} f(X)$.

• Предел по распределению не единствен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению

• Случайные величины $X_{n}$ сходятся по распределению к $X$, если их функции распределения $F_{X_{n}}$ сходятся к функции распределения предела $F_{X}$ во всех точках непрерывности последней:

$F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }F_{X_{n}}(x)=F_{X}(x)$.

• Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

$\lim \limits _{n\to \infty }f_{X_{n}}(x)\to f_{X}(x)$ почти всюду,

то $X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X$. Обратное, вообще говоря, неверно!

• Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в $L^{p}$) влечёт сходимость по распределению:

$X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }X\Rightarrow X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X$.

Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Теорема Слуцкого