Соприкасающаяся окружность

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Соприкасающаяся окружность

Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через и две близкие к ней точки , когда стремятся к .

Связанные определенияПравить

  • Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:
     
  • Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой.

Координаты центра кривизныПравить

Центр кривизны функции   в точке   находится в следующей точке[1][2]:

 

СвойстваПравить

  • Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.
  • Инверсия соприкасающейся окружности есть соприкасающеяся окружность инверсии кривой в соответствующей точке.
  • В вершинах кривой и только в них порядок касания соприкасающейся окружности превосходит 2.
  • Теорема Тэйта — Кнезера утверждает, что если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга.

ИсторияПравить

Понятие соприкасающейся окружности (лат. circulum osculans) было введено Лейбницем. Соответствующая геометрическая конструкция содержатся также в книге «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона.

Вариации и обобщенияПравить

  • Соприкасающаяся сфера пространственной кривой   есть сфера   с центром в точке
     
проходящая через  . Здесь   и   обозначают кривизну и кручение кривой,  ,  ,  трёхгранник Френе.
  • В случае если кривизна и кручение кривой отличны от нуля соприкасающаяся сфера определена и является единственной сферой, с которой кривая имеет степень соприкосновения хотя бы 3.

ПримечанияПравить