Соприкасающаяся окружность

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Соприкасающаяся окружность

Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке $P$ кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через $P$ и две близкие к ней точки $P_{1},\ P_{2}$, когда $P_{1},\ P_{2}$ стремятся к $P$.

Связанные определения

• Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:

  $r^{-1}=k$

• Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой.

Координаты центра кривизны

Центр кривизны функции $y=f(x)$ в точке $(x_{0},f(x_{0}))$ находится в следующей точке:

${\Bigg (}x_{0}-{\frac {f'(x_{0})(1+(f'(x_{0}))^{2})}{f''(x_{0})}},f(x_{0})+{\frac {1+(f'(x_{0}))^{2}}{f''(x_{0})}}{\Bigg )}$

Свойства

• Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.
• Инверсия соприкасающейся окружности есть соприкасающеяся окружность инверсии кривой в соответствующей точке.
• В вершинах кривой и только в них порядок касания соприкасающейся окружности превосходит 2.
• Теорема Тэйта — Кнезера утверждает, что если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга.

История

Понятие соприкасающейся окружности (лат. circulum osculans) было введено Лейбницем. Соответствующая геометрическая конструкция содержатся также в книге «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона.

Вариации и обобщения

• Соприкасающаяся сфера пространственной кривой $\gamma$ есть сфера $\Sigma _{s}$ с центром в точке

  $p(s)=\gamma (s)+{\tfrac {1}{k(s)}}\cdot \nu (s)-{\tfrac {k'(s)}{k^{2}(s)\cdot \varkappa (s)}}\cdot \beta (s)$

проходящая через $\gamma (s)$. Здесь $k(s)$ и $\varkappa (s)$ обозначают кривизну и кручение кривой, $\tau$, $\nu$, $\beta$ — трёхгранник Френе.

• В случае если кривизна и кручение кривой отличны от нуля соприкасающаяся сфера определена и является единственной сферой, с которой кривая имеет степень соприкосновения хотя бы 3.