Спрямляемое множество

Спрямляемое множество — обобщение спрямляемой кривой на высшие размерности.

Спрямляемые множества являются основным объектом исследования в геометрической теории меры. На спрямляемые множества обобщается большое число понятий определённых для гладких многообразий. В том числе объёма, касательного пространства, понятие почти всюду и т. д.

Определение

Подмножество $E$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ называется $m$-спрямляемым множеством, если существует счётное множество $\{f_{i}\}$ непрерывно дифференцируемых отображений

$f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$

таких, что

${\mathcal {H}}^{m}\left[E\backslash \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right]=0,$

где ${\mathcal {H}}^{m}$ обозначает $m$-мерную меру Хаусдорфа.

Замечания

• Функции $f_{i}$ в определении могут быть заменены на липшицевы, при этом класс спрямляемых множеств останется без изменений.

Литература

• Федерер Г., Геометрическая теория меры, 1987, с. 760.
• Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, vol. 153, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, New York: Springer-Verlag, с. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7 
• Simon, Leon (1984), Lectures on Geometric Measure Theory, vol. 3, Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Canberra: Centre for Mathematics and its Applications (CMA), Australian National University, с. VII+272 (loose errata), ISBN 0-86784-429-9