Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей дифференцируемого многообразия . Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры , среди таковых — ковариантная производная[⇨], производная Ли[⇨], внешняя производная[⇨], тензор кривизны невырожденного дважды ковариантного тензора[⇨].

Содержание

Ковариантная производнаяПравить

Ковариантная производная вдоль векторного поля   — линейное отображение   пространства векторных полей   многообразия  , зависящее от векторного поля   и удовлетворяющее условиям:

 
 

где  ,  ,  ,  ,   — гладкие функции на  . Определяемые этим оператором связность   и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры   в себя; при этом отображение   есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со свёрткой.

В локальных координатах   ковариантная производная тензора с компонентами   относительно вектора   определяется как:

 
  — объект связности  .

Производная ЛиПравить

Производная Ли вдоль векторного поля   — отображение   пространства  , определяемое формулой  , где   — коммутатор векторных полей  ,  . Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования  , сохраняет тип тензоров и перестановочен со свёрткой. В локальных координатах производная Ли тензора   выражается так:

 

Внешняя производнаяПравить

Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор  , сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени   форму такого же вида и степени  , удовлетворяющий условиям:

 

где   — символ внешнего произведения,   — степень  . В локальных координатах внешняя производная тензора   выражается так:

 

Оператор   — обобщение оператора  .

Тензор кривизныПравить

Тензор кривизны симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора   представляет собой действие некоторого нелинейного оператора  :

 ,

где

 .

ЛитератураПравить

  • Сокольников И. С. Тензорный анализ. — М.: Наука, 1971. — 374 с.
  • Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1965. — 456 с.
  • Широков П. А. Тензорное исчисление. — М.–Л.: Гостехиздат, 1934. — 464 с.