Теорема Гильберта — Шмидта

Теоре́ма Ги́льберта-Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.

Формулировка теоремыПравить

Для любого вполне непрерывного симметричного оператора   в гильбертовом пространстве   существует ортонормированная система   собственных элементов, соответствующих собственным значениям   оператора  , такая, что для любого   имеет место представление

 

причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора  . Если их бесконечное число, то  .

Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторовПравить

Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.

Для интегрального оператора  , теорема переформулируется так: если функция   истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро   (т.е.  , такая, что  ), то её ряд Фурье по собственным функциям ядра   сходится абсолютно и равномерно на   к этой функции:

 

где   и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям  .

ЛитератураПравить

См. такжеПравить

Оператор Гильберта — Шмидта