Открыть главное меню

Компактный оператор

(перенаправлено с «Вполне непрерывный оператор»)

Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.

ОпределениеПравить

Пусть   — банаховы пространства. Линейный оператор   называется компактным, если любое ограниченное подмножество в   он переводит в предкомпактное подмножество в  .

Существует эквивалентное определение, использующее понятие слабой топологии: линейный оператор   называется компактным, если его сужение на единичный шар в   является непрерывным отображением относительно слабой топологии в   и нормовой топологии в  . Очевидно, свойство компактности сильнее, чем ограниченность.

Множество компактных операторов   обозначается через  . Оно является подмножеством в пространстве ограниченных операторов  , действующих из   в  .

Простейшие свойстваПравить

  • Всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным, однако не всякий ограниченный оператор является вполне непрерывным[1].
  • Линейная комбинация вполне непрерывных операторов   вида  , где   — числа, также является вполне непрерывным оператором[2].
  • Пусть   — вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное банахово пространство в себя, и   — произвольный линейный ограниченный оператор, определённый на этом же пространстве. Тогда   и   являются вполне непрерывными операторами[2].
  • Если последовательность вполне непрерывных операторов  , отображающих пространство   в полное пространство  , равномерно сходится к оператору   (то есть  ), то   также вполне непрерывный оператор.[2][3]
  • Если оператор компактен, то сопряженный к нему тоже компактен.

ПримерыПравить

Наиболее содержательные примеры компактных операторов доставляет теория интегральных уравнений:

  • Возьмём произвольную функцию  . Тогда определённый следующим образом интегральный оператор   будет компактным:
 
  • Пусть функция g на   имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых. Тогда оператор  , определённый точно так же, как и оператор в предыдущем примере, является компактным уже в пространстве непрерывных функций.

Диагональный оператор  , соответствующий последовательности   и действующий по правилу   ограничен тогда и только тогда, когда последовательность   ограничена, а компактность равносильна сходимости последовательности   к нулю.

Обратимый оператор   компактен тогда и только тогда, когда   конечномерны.

Конечномерные операторыПравить

Очевидно, что любой линейный ограниченный оператор с конечномерным образом является компактным (такие операторы называются конечномерными). Для компактного оператора  , где   — гильбертово пространство, всегда существует последовательность конечномерных операторов, сходящаяся к   по норме. Однако, это неверно для произвольного пространства  . Говорят, что банахово пространство   обладает свойством аппроксимации, если для любого банахова пространства   любой компактный оператор   может быть приближен конечномерными операторами. Существуют сепарабельные банаховы пространства не обладающие свойством аппроксимации.

Свойства пространства компактных операторовПравить

Из базовых свойств компактных операторов сразу следует, что   является подпространством в  . Однако, можно показать, что это подпространство замкнуто. В случае, когда  , пространство операторов приобретает структуру алгебры (умножение задается композицией операторов). Тогда   является замкнутым двусторонним идеалом в  .

Свойство аппроксимации для пространства   можно сформулировать таким образом: для любого банахова пространства   пространство   является замыканием пространства конечномерных операторов из   в  .

Спектральные свойства компактных операторовПравить

Пусть   — компактный оператор. Тогда оператор   является нетеровым оператором индекса 0 (фредгольмовым). В частности, имеем альтернативу Фредгольма для  : он сюръективен тогда и только тогда когда инъективен (альтернатива в том, что либо ядро не пусто, либо образ совпадает со всем пространством). Как следствие сразу получаем, что весь ненулевой спектр компактного оператора является дискретным (остаточный и непрерывный спектры могут содержать только ноль). Ноль же всегда принадлежит спектру оператора   в бесконечномерном случае (иначе обратимый оператор был бы компактен) и может не быть собственным значением для оператора  .

В случае, когда оператор   является самосопряженным (здесь   гильбертово), дополнительно имеем теорему Гильберта-Шмидта: существуют конечная или счетная ортонормированная система векторов   и последовательность ненулевых вещественных чисел (той же мощности, что и система векторов)  , такие, что оператор   действует по правилу  . Эта теорема является естественным обобщением аналогичной теоремы для самосопряженных операторов в конечномерном пространстве. Тем самым, класс компактных операторов, с точки зрения спектральных свойств, похож на операторы в конечномерном пространстве.

Классы компактных операторовПравить

Пусть   — компактный оператор,   — гильбертовы пространства. Тогда существуют пара конечных или счетных ортонормированных последовательностей одинаковой мощности   в   и   в   и невозрастающая последовательность положительных вещественных чисел (той же мощности)  , сходящаяся к нулю, если она бесконечна, такие что оператор   действует по правилу  . Данный факт известен под названием теорема Шмидта (по формулировке она очень похожа на теорему Гильберта-Шмидта, и, в самом деле, теорема Шмидта, с небольшими изменениями для самосопряженного оператора служит доказательством для теоремы Гильберта-Шмидта). Нетрудно показать, что числа  , которые называются числами Шмидта, однозначно определяются оператором.

Если для оператора   сходится  , то оператор называется оператором Гильберта-Шмидта. Норма вводится соотношением  , причем она порождается скалярным произведением. Если же сходится  , то оператор называется ядерным или оператором со следом. На пространстве ядерных операторов норма вводится соотношением  .

ПримечанияПравить

  1. Краснов, 1975, с. 178.
  2. 1 2 3 Краснов, 1975, с. 179.
  3. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, Наука, 1965

ЛитератураПравить

  • А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвертое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с. — 35 000 экз.
  • Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 304 с.

См. такжеПравить