Теорема Голода — Шафаревича

Теорема Голода-Шафаревича — теорема алгебры. Была сформулирована и доказана Е. С. Голодом и И. Р. Шафаревичем в 1964 г.[1][2] Важными следствиями из неё являются отрицательный ответ на проблему Куроша (существует ниль-алгебра, не являющаяся локально нильпотентной)[3], отрицательный ответ на общую проблему Бернсайда (существует периодическая группа, не являющаяся локально конечной)[4].

УсловияПравить

Пусть   — кольцо полиномов от некоммутирующих переменных   над произвольным полем  . Пусть   является градуированной алгеброй благодаря определению на ней функции степени.

Представим   в виде суммы подпространств  , где  , а   имеет базис из   элементов вида  , где переменные   выбираются из множества  .

Назовем элементы пространства   однородными элементами степени  .

Пусть   — двусторонний идеал алгебры  , порождённый однородными элементами   степеней   соответственно. Упорядочим   так, чтобы  . Число тех элементов  , степени которых равны   обозначим как  .

Факторалгебра   наследует градуировку из   вследствие того, что идеал   порожден однородными элементами.

Факторалгебра может быть представлена в виде суммы  , где  .

Пусть  .

ФормулировкаПравить

Алгебра  , описанная в условиях теоремы, обладает следующими свойствами:

  1.   для всех  .
  2. Если для каждого    , то   бесконечномерна над  .

ДоказательствоПравить

Доказательство теоремы занимает   страницы в книге [5]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Голод Е. С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых p-группах // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1964. — Т. 28, выпуск 2. — С. 273—276.
  2. Голод Е. С., Шафаревич И. Р. О башне полей классов // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1964. — Т. 28, выпуск 2. — С. 261—272.
  3. Некоммутативные кольца, 1972, с. 184.
  4. Некоммутативные кольца, 1972, с. 185.
  5. Некоммутативные кольца, 1972, с. 180-183.

ЛитератураПравить

  • Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972. — 191 с.