Теорема Голода — Шафаревича

Теорема Голода-Шафаревича — теорема алгебры. Была сформулирована и доказана Е. С. Голодом и И. Р. Шафаревичем в 1964 г.^[1]^[2] Важными следствиями из неё являются отрицательный ответ на проблему Куроша (существует ниль-алгебра, не являющаяся локально нильпотентной)^[3], отрицательный ответ на общую проблему Бернсайда (существует периодическая группа, не являющаяся локально конечной)^[4].

Условия

Пусть $T=F\left[x_{1},...,x_{d}\right]$ — кольцо полиномов от некоммутирующих переменных $x_{1},...,x_{d}$ над произвольным полем $F$ . Пусть $T$ является градуированной алгеброй благодаря определению на ней функции степени.

Представим $T$ в виде суммы подпространств $T=T_{0}+T_{1}+\ldots +T_{n}+\ldots$ , где $T_{0}=F$ , а $T_{n}$ имеет базис из $d^{n}$ элементов вида $x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}$ , где переменные $x_{i_{j}}$ выбираются из множества $\left\{x_{1},...,x_{d}\right\}$ .

Назовем элементы пространства $T_{n}$ однородными элементами степени $n$ .

Пусть ${\mathfrak {U}}=(f_{1},f_{2},...)$ — двусторонний идеал алгебры $T$ , порождённый однородными элементами $f_{1},f_{2},...$ степеней $n_{1},n_{2},...$ соответственно. Упорядочим $n_{1},n_{2},...$ так, чтобы $2\leqslant n_{1}\leqslant n_{2}\leqslant \ldots$ . Число тех элементов $f_{j}$ , степени которых равны $i$ обозначим как $r_{i}$ .

Факторалгебра $A=T/{\mathfrak {U}}$ наследует градуировку из $T$ вследствие того, что идеал ${\mathfrak {U}}$ порожден однородными элементами.

Факторалгебра может быть представлена в виде суммы $A=A_{0}+A_{1}+\ldots +A_{n}+\ldots$ , где $A_{i}\simeq T/{\mathfrak {U}}\cap T_{i}$ .

Пусть $b_{n}=\dim _{F}A_{n}$ .

Формулировка

Алгебра $A$ , описанная в условиях теоремы, обладает следующими свойствами:

$b_{n}\geqslant db_{n-1}-\sum _{n_{i}\leqslant n}b_{n-n_{i}}$ для всех $n\geqslant 1$ .
Если для каждого $i$ $r_{i}\leqslant \left({\frac {d-1}{2}}\right)^{2}$ , то $A$ бесконечномерна над $F$ .