Теорема Леви о монотонной сходимости

Теорема о монотонной сходимости (теорема Бе́ппо Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Различные формулировки из функционального анализа

Далее $L_{1}(X,\mu )$ обозначает пространство интегрируемых функций на пространстве с мерой $(X,\mu )$. Мера не предполагается конечной. Для всех интегралов далее областью интегрирования является всё пространство $X$.

Теорема Леви (о монотонном пределе интегрируемых функций). Пусть $f_{n}\in L_{1}(X,\mu )$ — монотонно неубывающая последовательность функций, интегрируемых на $X$, то есть

$f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)$ для всех $n\in \mathbb {N}$ и $x\in X$.

Если их интегралы ограничены в совокупности:

$\int f_{n}(x)d\mu \leqslant K$,

Тогда:

1. почти всюду существует конечный предел $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x):=f(x)$ (то есть функции $f_{n}(x)$ сходятся поточечно к некоторой функции $f(x)$ почти всюду на $X$);
2. предельная функция $f(x)$ интегрируема на $X$, то есть $f\in L_{1}(X,\mu )$;
3. функции $f_{n}(x)$ сходятся к функции $f(x)$ в среднем, то есть по норме пространства $L_{1}(X,\mu )$;
4. допустим предельный переход под знаком интеграла:

$\int f(x)d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}(x)d\mu$.

Другая форма теоремы Леви относится к почленному интегрированию неотрицательных рядов:

Теорема Леви (о почленном интегрировании неотрицательных рядов). Пусть $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ — неотрицательные функции, интегрируемые на $X$. Если ограничены в совокупности интегралы от частичных сумм ряда

$\int \sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)d\mu \leqslant C$,

тогда

1. ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)$ сходится почти всюду к конечному значению;
2. сумма ряда $\sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)$ является интегрируемой функцией;
3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства $L_{1}(X,\mu )$;
4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:

$\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{k}(x)d\mu$.

Первая и вторая форма теоремы переходят одна в другую при замене $f_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)$, или $\varphi _{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$. Однако вторая форма допускает следующее расширение на интегрирование функциональных рядов, не обязательно знакопостоянных:

Теорема Леви (о почленном интегрировании функциональных рядов). Пусть $\varphi _{n}\in L_{1}(X,\mu )$ — функции, интегрируемые на $X$. Если сходится ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }\int |\varphi _{k}(x)|d\mu <\infty$,

тогда

1. ряд $\sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)$ абсолютно сходится почти всюду к конечному значению;
2. сумма ряда $\sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)$ является интегрируемой функцией;
3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства $L_{1}(X,\mu )$;
4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:

$\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{k}(x)d\mu$.

Чтобы получить теорему Леви в этой форме, нужно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости, так как частичные суммы ряда допускают интегрируемую мажоранту:

$\left|\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)\right|\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\varphi _{k}(x)|=\varphi (x)$

Формулировка из теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\Omega$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

$\mathbb {E} \left[\lim \limits _{n\to \infty }X_{n}\right]=\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}$.

См. также

• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.