Теорема Леви о монотонной сходимости

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Леви.

Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега[1], теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Различные формулировки из функционального анализаПравить

Далее   обозначает пространство интегрируемых функций на пространстве с мерой  . Мера не предполагается конечной. Для всех интегралов далее областью интегрирования является всё пространство  .

Теорема Леви (о монотонном пределе интегрируемых функций). Пусть   — монотонно возрастающая последовательность функций, интегрируемых на  , то есть

  для всех   и  .

Если их интегралы ограничены в совокупности:

 ,

Тогда:

  1. почти всюду существует конечный предел   (то есть функции   сходятся поточечно к некоторой функции   почти всюду на  );
  2. предельная функция   интегрируема на  , то есть  ;
  3. функции   сходятся к функции   в среднем, то есть по норме пространства  ;
  4. допустим предельный переход под знаком интеграла:
 .

Другая форма теоремы Леви относится к почленному интегрированию неотрицательных рядов:

Теорема Леви (о почленном интегрировании неотрицательных рядов). Пусть   — неотрицательные функции, интегрируемые на  . Если ограничены в совокупности интегралы от частичных сумм ряда

 ,

тогда

  1. ряд   сходится почти всюду к конечному значению;
  2. сумма ряда   является интегрируемой функцией;
  3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства  ;
  4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:
 .

Первая и вторая форма теоремы переходят одна в другую при замене  , или  . Однако вторая форма допускает следующее расширение на интегрирование функциональных рядов, не обязательно знакопостоянных:

Теорема Леви (о почленном интегрировании функциональных рядов). Пусть   — функции, интегрируемые на  . Если сходится ряд

 ,

тогда

  1. ряд   абсолютно сходится почти всюду к конечному значению;
  2. сумма ряда   является интегрируемой функцией;
  3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства  ;
  4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:
 .

Чтобы получить теорему Леви в этой форме, нужно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости, так как частичные суммы ряда допускают интегрируемую мажоранту:

 

Формулировка из теории вероятностейПравить

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов  , вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть   — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

 .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. То есть даёт условие, при котором из сходимости функциональной последовательности   к суммируемому пределу следует сходимость и равенство интегралов  .

ЛитератураПравить