Открыть главное меню

Число Лефшеца

(перенаправлено с «Теорема Лефшеца»)

Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.

ОпределениеПравить

Пусть   — топологическое пространство,   — непрерывное отображение,   — группы гомологий   с коэффициентами в поле  . Пусть   — след линейного преобразования

 

По определению, число Лефшеца отображения   есть

 

СвойстваПравить

  • Число Лефшеца определено если общий ранг групп   конечен, и в этом случае не зависит от выбора  .

Формула ЛефшецаПравить

Пусть   — связное ориентируемое  -мерное компактное топологическое многообразие или  -мерный конечный клеточный комплекс,   — непрерывное отображение.

Предположим, что все неподвижные точки отображения   изолированы.

Для каждой неподвижной точки  , обозначим через   её индекс Кронекера (локальная степень отображения   в окрестности точки  ). Тогда формула Лефшеца для   и   имеет вид

 
  • В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.

ИсторияПравить

Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения  -мерной сферы в себя.