Теорема об инвариантности области

Теорема об инвариантности области утверждает, что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт.

История

Теорема доказана Брауэром. Доказательство основано на теореме Брауэра о неподвижной точке. Существует вариант доказательства, основанный на лемме Шпернера.

Формулировка

Пусть $U$ — открытое подмножество в $\mathbb {R} ^{n}$, и $f\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ — инъективное непрерывное отображение. Тогда образ  $B=f(U)$ является открытым подмножеством в $\mathbb {R} ^{n}$, и $f$ задаёт гомеоморфизм между $U$ и $B$.

Образ инъективного непрерывного отображения открытого интервала в плоскость, негомеоморфное исходному интервалу.

Замечания

• Заключение теоремы можно сформулировать так:
  • $f$ является открытым отображением.
• Как видно на картинке, утверждение теоремы неверно для отображений между евклидовыми пространствами разной размерности.
• Также теорема неверна в бесконечномерном случае. Например, отображение правого сдвига

  $(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )$

гильбертова пространства в себя является непрерывным и инъективным, но не является открытым.

Следствия

• Из теоремы немедленно следует, что евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны.
• С помощью теоремы доказываются многие теоремы существования для выпуклых многогранников, в том числе существование выпуклого многогранника с данной развёрткой.

Вариации и обобщения

• Теорема об инвариантности области допускает прямое обобщение на отображения между многообразиями равной размерности.
• Существуют также обобщения некоторых видов непрерывных отображений из Банахова пространства в себя.