Решётка (алгебра)

(перенаправлено с «Теория решёток»)

Решётка (ранее использовался термин структура) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

ПримерыПравить

  1. множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению; например:  ,  ;
  2. всякое линейно упорядоченное множество; причём если  , то  ;
  3. множество всех подпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где   — пересечение, а   — сумма соответствующих подпространств;
  4. множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости:  , если   для некоторого  . Здесь   — наименьшее общее кратное, а   — наибольший общий делитель данных чисел;
  5. вещественные функции, определённые на отрезке [0, 1], упорядоченные условием  , если   для всех  . Здесь
 , где  .

Алгебраическое определениеПравить

Решётка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются   и   или + и ∙), удовлетворяющая следующим тождествам

  1.  
      (идемпотентность)
  2.  
      (коммутативность)
  3.  
      (ассоциативность)
  4.  
      (поглощение).

Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:

 ,
 ,

и обратно. При этом для любых элементов   и   эквивалентны следующие утверждения:

 ;
 ;
 .

Понятия изоморфизма решёток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольное изотонное отображение решётки   в решётку   не обязано быть гомоморфизмом этих решёток как универсальных алгебр.

ПодрешёткиПравить

Подрешётка ― подмножество элементов решётки, замкнутое относительно операций   и  . Примерами подрешёток являются всякое одноэлементное подмножество решётки, идеал, фильтр, интервал.

Подрешётка   называется выпуклой, если из   и   вытекает, что  . Все подрешётки выше — выпуклые.

Любое подмножество элементов цепи является её подрешёткой (не обязательно выпуклой). Все подрешётки данной решётки, упорядоченные отношением включения, образуют решётку.

ИсторияПравить

Появление понятия «решётка» относится к середине XIX века. Чётко его сформулировал Р. Дедекинд в работах 1894 и 1897 годов. Термин «lattice», переведённый как «структура», был введён Биркгофом в 1933 году. В настоящее время в русской терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен переводом «решётка». Исторически роль теории решёток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых решёток. Как самостоятельное направление алгебры эта теория сформировалась в 30-х годах XX века. Наиболее важные классы решёток, кроме дедекиндовых, — это полные решётки, дистрибутивные решётки и булевы алгебры.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

Доступные бесплатно в интернете монографии:

  • Burris, Stanley N., H.P. Sankappanavar A Course in Universal Algebra. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2.
  • Peter Jipsen, Henry Rose Varieties of Lattices — Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.

Элементарные тексты для обладающих малой математической культурой:

  • Thomas Donnellan Lattice Theory. — Pergamon, 1968.
  • G. Grätzer Lattice Theory: First concepts and distributive lattices. — W. H. Freeman, 1971.

Обычные введения в предмет, несколько более сложные, чем указанный выше:

  • B.A. Davey, H. A. Priestley Introduction to Lattices and Order. — Cambridge University Press, 2002.

Продвинутые монографии:

  • Garrett Birkhoff Lattice Theory. — 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society, 1967.
  • Robert P. Dilworth, Peter Crawley Algebraic Theory of Lattices. — Prentice-Hall, 1973. ISBN 978-0-13-022269-5.

О свободных решётках:

  • R. Freese, J. Jezek, J. B. Nation Free Lattices. — Mathematical Surveys and Monographs Vol. 42. Mathematical Association of America, 1985.
  • P.T. Johnstone Stone spaces. — Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press, 1982.

ЛитератураПравить

  • Биркгоф Г. Теория структур / Пер. с англ. — М., 1952;
  • Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970;
  • Житомирский Г. И. // Упорядоченные множества и решётки. — Саратов, 1981;
  • Гретцер Г. Общая теория решёток / Пер. с англ. — М., 1982.