Теорема Атьи — Зингера об индексе

Теорема Атьи — Зингера об индексе — утверждение о равенстве аналитического и топологических индексов эллиптического оператора на замкнутом многообразии. Установлено и доказано в 1963 году Майклом Атьёй и Изадором Зингером.

Результат способствовал обнаружению новых связей между алгебраической топологией, дифференциальной геометрией и глобальным анализом, нашёл применение в теоретической физике, а исследование его обобщений сформировалось в отдельное направление $K$-теории — теорию индекса.

Определения и формулировка

Аналитический индекс дифференциального оператора $d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$, где $E$ и $F$ — гладкие векторные расслоения над дифференцируемым замкнутым многообразием $X$, — это разность между размерностями его ядра и коядра:

$i_{a}(d)=\mathrm {dim} \,\mathrm {Ker} \,d-\mathrm {dim} \,\mathrm {Coker} \,d=\mathrm {dim} \,d^{-1}(0)-\mathrm {dim} \,C^{\infty }(F)/d(C^{\infty }(E))$.

Для эллиптических операторов эти размерности конечны.

Топологический индекс эллиптического оператора $d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$ определяется как:

$i_{t}(d)=\{\mathrm {ch} \,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal {T}}(X)\}[\Sigma (X)]$,

где $\sigma (d)$ — символ оператора $d$, определяющий изоморфизм поднятий $\sigma (d)\colon \pi ^{*}(E)\to \pi ^{*}(F)$, $\pi \colon S(X)\to X$ — расслоение единичных сфер кокасательного расслоения $T^{*}X$ многообразия $X$, $V(\sigma )$ — расслоение $\pi ^{+*}(E)\cup _{\sigma }(d)\pi ^{-*}(F)$ над склейкой $\Sigma (X)=B^{+}\cup _{S(X)}B^{-}$ двух экземпляров пространства расслоений $B(X)$ единичных шаров в $T^{*}X$ ($S(X)$ — край $B(X)$); $\mathrm {ch} \,V(\sigma )$ — когомологический характер Чженя расслоения $V(\sigma )$; ${\mathcal {T}}(X)$ — когомологический класс Тодда комплексифицированного кокасательного расслоения $T^{*}X\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$; $\pi _{\Sigma }^{*}\colon \Sigma (X)\to X$; $\pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal {T}}(X)={\mathcal {T}}(\Sigma (X))$, а часть «$[\Sigma (X)]$» означает взятие $2n$-мерной компоненты элемента $\{\mathrm {ch} \,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal {T}}(X)\}$ на фундаментальном цикле многообразия $\Sigma (X)$.

Утверждение теоремы заключается в равенстве аналитического и топологического индекса эллиптических операторов на замкнутых многообразиях.

История

Частные проявления соотношения, выраженного в теореме об индексе, были обнаружены ещё в XIX веке, такова, например, формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы, а также её многомерные обобщения. Ещё одно проявление такой связи — теорема Римана — Роха для неособых алгебраических кривых (1865) и её обобщение на произвольные векторные расслоения на компактных комплексных многообразиях — теорема Римана — Роха — Хирцебруха (1954).

Вопрос о возможном соотношении аналитического индекса эллиптических операторов и их топологических характеристик сформулировал Израиль Гельфанд в 1960 году, обратив внимание на инвариантность аналитического индекса относительно деформаций оператора. В 1963 году Атьёй и Зингером найдена такая топологическая характеристика; в 1964 году опубликовано доказательство для многообразий с краем. Первые варианты доказательства использовали технику, сходную с доказательством Фридриха Хирцебруха обобщения гипотезы Римана — Роха, в значительной степени привлекали средства теории когомологий и кобордизмов и отличались значительной технической сложностью. Через несколько лет формулировка и доказательство были переведены на язык $K$-теории, тем самым доказательство существенно упрощено, и открыта возможность для дальнейших обобщений, и в 1970-е — 1990-е годы аналоги теоремы были получены для более широких и различных специальных классов объектов.

Теорема об индексе (наряду с $K$-теорией и аналогом формулы Лефшеца для эллиптических операторов) была упомянута в номинации Атьи на Филдсовскую премию 1966 года. В 2004 году за теорему об индексе Атья и Зингер удостоены премии Абеля.

Следствия

Из теоремы следует, что топологический индекс эллиптического оператора на замкнутом многообразии — целое число. Другое следствие — аналитический и топологический индексы для оператора на многообразии нечётной размерности равны нулю.

Теорема Римана — Роха и её обобщения — теорема Римана — Роха — Хирцебруха и теорема Римана — Роха — Гротендика — естественные следствия теоремы об индексе.

Литература

• Р. Пале. Семинар по теореме Атьи — Зингера об индексе. — М.: Мир, 1970.
• М. Ф. Атья, И. М. Зингер. Индекс эллиптических операторов. I (рус.) = The index of elliptic operators. I // Успехи математических наук / Пер. с англ. С. И. Гельфанда. — Российская академия наук, 1968. — Т. 23, вып. 5, № 143. — С. 99—142. — ISSN 0042-1316.
• Индекса формулы — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский, М. А. Шубин