Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

График функции y = x3 с точкой перегиба (0, 0), также являющейся седловой точкой.
Корни, стационарные точки, точки перегиба и выпуклость кубического многочлена x3 − 3x2 − 144x + 432 (чёрная линия) и его первой и второй производных (красная и синяя линии).

Определения

править

Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной[1][2]. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак. Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую[1].

Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция   при   при  , которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная[3]. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).

Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулю[4]. Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления[1].

Дифференцируемая функция имеет точку перегиба   тогда и только тогда, когда её первая производная,  , имеет изолированный экстремум в точке   (это не то же самое, что   имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки   имеется одна и только одна точка, в которой   имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции   изолированы, то точка перегиба — это точка на графике  , в которой касательная пересекает кривую[5][6].

Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего[1].

Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.

Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух[7].

Свойства

править

Точка перегиба   однозначно характеризуется двумя свойствами:

  • в точке   кривая имеет единственную касательную,
  • в достаточно малой окрестности точки   кривая расположена внутри одной пары противоположных углов, образуемых касательной и нормалью.

Если кривая задана как график дифференцируемой функции  , точка перегиба является точкой экстремума для  .

Необходимое и достаточное условия

править
 
График функции f(x) = sin(2x) от −π/4 до 5π/4. Заметьте, вторая производная функции f равна f″(x) = −4sin(2x). Касательная отражена зелёным цветом, где кривая выпукла (под касательной), синим, где кривая вогнута (выше касательной), и красным цветом в точках перегиба 0, π/2 и π

Если   является точкой перегиба для  , то вторая производная   равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления [8]. В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба.

Определение предполагает, что   имеет ненулевую производную более высокого порядка по  , которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак   постоянен по обеим сторонам от   в окрестности точки  .

Достаточное условие точки перегиба:

1) Достаточным условием точки перегиба является:

Если     раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки  , где   нечётно и  ,   для   и  , то   является точкой перегиба  .

2) Другое достаточное условие требует, чтобы   и   имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная[2].

Классификация точек перегиба

править

Точки перегиба можно классифицировать согласно производной  :

  • если   равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба;
  • если   не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба.
 
y = x4 — x имеет вторую производную в точке (0,0), но она не является точкой перегиба, поскольку четвёртая производная является первым ненулевым порядком производной (третья производная равна нулю).

Примером седловой точки является точка   графика  . Касательной служит ось  , и она разделяет график в этой точке.

Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции  , если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю.

Функции с разрывами

править

Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию  . Она выпукла при   и вогнута при  . Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку   и   не принадлежат области определения функции.

См. также

править

Примечания

править
  1. 1 2 3 4 Шикин, 1997, с. 39.
  2. 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005, с. 231.
  3. Фихтенгольц, 2001, с. 305.
  4. Шикин, 1997, с. 27.
  5. Фихтенгольц, 2001, с. 294—305.
  6. Кудрявцев, 1981, с. 190—195.
  7. Point of inflection. encyclopediaofmath.org. Дата обращения: 30 декабря 2016. Архивировано 29 апреля 2018 года.
  8. Рашевский, 1950, с. 18—19.

Литература

править
  • Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий. Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — Москва: «ФАЗИС», 1997. — ISBN 5-7036-0027-8, ББК 22.15.
  • I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, G. Musiol, H. Muehlig. Handbook of Mathematics. — 5. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005. — ISBN 978-3-540-72121-5.
  • Л. Д. Кудрявцев. Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одного переменного // Математический анализ. — Москва: «Высшая школа», 1981. — Т. 1. — С. 190—195.
  • Г. М. Фихтенгольц. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — ISBN 5-9221-0156-0.
  • П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. — Москва, Ленинград: Государственное издательство техническо-теоретической литературы, 1950.
  • Weisstein, Eric W. Inflection Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Point of inflection", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Ссылки

править