Единичная окружность

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций.

Свойства и связанные понятия

Внутренность единичной окружности называется единичным кругом.

Для координат всех точек на единичной окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство $x^{2}+y^{2}=1$. Это равенство можно рассматривать как уравнение единичной окружности.

Тригонометрические функции

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку $(x,y)$ на единичной окружности с началом координат $(0,0)$, получается отрезок, находящийся под углом $\alpha$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда получим:

$\cos \alpha =x$,

$\sin \alpha =y$.

При подстановке этих значений в уравнение окружности $x^{2}+y^{2}=1$ получается:

$\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$.

(Используется следующая общепринятая нотация: $\cos ^{2}x=(\cos x)^{2}$.)

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

$\sin(x+2\pi k)=\sin(x)$

$\cos(x+2\pi k)=\cos(x)$

для всех целых чисел $k$, то есть для $k\in \mathbb {Z}$.

Комплексная плоскость

См. также: U(1) и Корни из единицы

В комплексной плоскости единичная окружность — это множество комплексных чисел, модуль которых равен 1:

$G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \}$

Любое ненулевое комплексное число $z$ может быть однозначно записано в виде $z=|z|u,$ где число $u$ имеет модуль 1 и поэтому принадлежит единичной окружности,

Множество $G$ является подгруппой группы комплексных чисел по умножению. В свою очередь, $G$ содержит важные в алгебре конечные группы корней $n$-й степени из единицы, образующие вдоль единичной окружности вершины правильного $n$-угольника.

Радиан как длина дуги единичной окружности

Радианная мера

Радианную меру угла можно определить как длину той дуги, которую высекает из единичной окружности данный угол (центр окружности совпадает с вершиной угла).

Вариации и обобщения

Понятие единичной окружности обобщается до $n$-мерного пространства ($n>2$), в таком случае говорят о «единичной сфере».

Литература

• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Unit Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.