Условное распределение

(перенаправлено с «Условная функция вероятности»)

Усло́вное распределе́ние в теории вероятностей — это распределение случайной величины при условии, что другая случайная величина принимает определённое значение.

ОпределенияПравить

Будем предполагать, что задано вероятностное пространство  .

Дискретные случайные величиныПравить

Пусть   и   — случайные величины, такие, что случайный вектор   имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности  . Пусть   такой, что  . Тогда функция

 ,

где   — функция вероятности случайной величины  , называется усло́вной фу́нкцией вероя́тности случайной величины   при условии, что  . Распределение, задаваемое условной функцией вероятности, называется условным распределением.

Абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

Пусть   и   — случайные величины, такие что случайный вектор   имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности  . Пусть   таково, что  , где   — плотность случайной величины  . Тогда функция

 

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины   при условии, что  . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Свойства условных распределенийПравить

  • Условные функции вероятности и условные плотности вероятности являются функциями вероятности и плотностями вероятности соответственно, то есть они удовлетворяют всем необходимым условиям. В частности,
  •  ,
  •  ,

и

  •   почти всюду на  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .
  • Если случайные величины   и   независимы, то условное распределение равно безусловному:
 

или

  почти всюду на  .

Условные вероятностиПравить

Дискретные случайные величиныПравить

Если   — счётное подмножество  , то

 .

Абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

Если   — борелевское подмножество  , то полагаем по определению

 .

Замечание. Условная вероятность в левой части равенства не может быть определена классическим способом, так как  .

Условные математические ожиданияПравить

Дискретные случайные величиныПравить

 .
  • Условное математическое ожидание   при условии случайной величины   — это третья случайная величина  , задаваемая равенством
 .

Абсолютно непрерывные случайные величиныПравить

  • Условное математическое ожидание случайной величины   при условии   получается интегрированием относительно условного распределения:
 .
  • Условное математическое ожидание   при условии случайной величины   — это третья случайная величина  , задаваемая равенством
 .

См. такжеПравить