Формула Виета для приближения числа π

Эта статья — о формуле для приближения числа π. О формулах, связывающих коэффициенты многочлена и его корни см. формулы Виета.

Формула Виета для приближения числа π — бесконечное произведение вложенных радикалов:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$.

Первое известное явное представление числа $\pi$ с бесконечным числом операций; открыто французским математиком Франсуа Виетом в 1593 году.

Доказать равенство можно следующим образом: применив тождество $\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi$ рекурсивно и перейдя к пределу:

$\sin \varphi =2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}=$$4\sin {\frac {\varphi }{4}}\cos {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}=\langle \cdots \rangle$$=2^{n}\sin {\frac {\varphi }{2^{n}}}\cos {\frac {\varphi }{2}}\cdot \ldots \cdot \cos {\frac {\varphi }{2^{n}}}$$\to \varphi \cos {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdot \ldots$

Получается:

$\varphi \cos {\dfrac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdots =\sin \varphi .$

Остаётся подставить $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$ и воспользоваться формулой половинного угла:

$\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2\cos \alpha }}$.

Формула Виета может быть также представлена как предельное выражение:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}$

$a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}$

$a_{1}={\sqrt {2}}$

Литература

• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I. — С. 314—315. — 352 с.