Открыть главное меню

Фундаментальное решение

Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора L или, эквивалентно, соответствующего ему линейного уравнения в частных производных — математическое понятие, обобщающее идею функции Грина для дифференциальных операторов, без связи с какой-либо областью и граничными условиями.

Именно, фундаментальным решением дифференциального оператора L называется решение F (вообще говоря, принадлежащее классу обобщённых функций) линейного неоднородного уравнения

LF = δ(x),

где правая часть δ(x)дельта-функция Дирака[1].

Исторически, понятие фундаментального решения сначала возникло для оператора Лапласа в размерностях 2 и 3. В настоящее время фундаментальные решения вычислены для многих конкретных дифференциальных операторов и доказано, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение.

СвойстваПравить

  • Фундаментальное решение оператора L, вообще говоря, не единственно. Оно определено с точностью до прибавления слагаемого Z, принадлежащего ядру оператора L: пусть F — решение уравнения LF = δ(x), тогда F+Z также является его решением, если LZ = 0[1].
  • Решение неоднородного уравнения LU = g(x) с произвольной правой частью g выражается через фундаментальное решение оператора L с помощью свёртки по формуле U = Fg. Это решение единственно в классе обобщённых функций, для которых существует свёртка с g[1].
  • Функция F является фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами
 
если и только если её преобразование Фурье   удовлетворяет равенству   где
 
i — мнимая единица[1].

ПримерыПравить

  • Фундаментальное решение оператора Лапласа (нижний индекс обозначает размерность пространства) задается формулами[1], где   — стандартный скалярный квадрат вектора  :
 
где   означает площадь поверхности единичной сферы в n-мерном евклидовом пространстве.
 
где  функция Хевисайда.
 

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 Владимиров В.С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.

ЛитератураПравить

  • Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М:, Наука, 1985.
  • Владимиров В.С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.